[論文レビュー] Integrable systems and holomorphic curves

P. Rossi|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、$S^1 \times M$ 上のシンプレクティック場の理論（SFT）から生じる無限次元ハミルトニアン系と、グロモフ＝ウィトテン理論を介して得られるフォロビウス多様体から導かれる系との間の正確な対応を確立する。Dubrovinの形式的枠組みを用いて、基本クラスおよび除数公理といった公理から再帰的・平坦接続を介してハミルトニアンを導出し、SFT由来の可積分階層が$M$の量子コホノロジーに付随するものと一致することを示している。

ABSTRACT

In this paper we attempt a self-contained approach to infinite dimensional Hamiltonian systems appearing from holomorphic curve counting in Gromov-Witten theory. It consists of two parts. The first one is basically a survey of Dubrovin's approach to bihamiltonian tau-symmetric systems and their relation with Frobenius manifolds. We will mainly focus on the dispersionless case, with just some hints on Dubrovin's reconstruction of the dispersive tail. The second part deals with the relation of such systems to rational Gromov-Witten and Symplectic Field Theory. We will use Symplectic Field theory of $S^1 imes M$ as a language for the Gromov-Witten theory of a closed symplectic manifold $M$. Such language is more natural from the integrable systems viewpoint. We will show how the integrable system arising from Symplectic Field Theory of $S^1 imes M$ coincides with the one associated to the Frobenius structure of the quantum cohomology of $M$.

研究の動機と目的

• グロモフ＝ウィトテン理論における無限次元ハミルトニアン系の自己完備的枠組みを確立すること。
• SFT on $S^1 \times M$ から得られる可積分系と、フォロビウス多様体を経由する量子コホノロジーから導かれる系を結びつけること。
• SFT由来のハミルトニアン階層が、閉シンプレクティック多様体$M$の量子コホノロジーから導かれるものと一致することを示すこと。
• 基本クラスおよび除数公理といった公理から再帰的にハミルトニアン$h_{\alpha,j}$を導出すること。
• これらのハミルトニアンから構成される$J$-関数が平坦接続条件を満たすことを示し、可積分性を確認すること。

提案手法

• 局所的関数値が$u$およびその微分の微分多項式で定義される形式的ループ空間$\mathcal{L} = \{u: S^1 \to \mathbb{R}^n\}$を位相空間とし、$\delta^{(s)}(x-y)$を用いた形式的デルタ分布によるポisson括弧を定義する。構造定数$a_s^{\alpha\beta}$はヤコビ恒等式によって制約される。
• 分散なし極限におけるDubrovinの双ハミルトニアン$\tau$対称系理論を適用し、分散補正の可能性についても示唆する。
• 基本クラスおよび除数公理を用いて、$h_{\alpha,-1} = \sum \eta_{\alpha\beta} t^\beta$から出発し、グロモフ＝ウィトテン不変量を用いてハミルトニアン$h_{\alpha,j}$を導出する。
• 重み付けと古典的カップ積データを用いて、$J_\alpha(t,\zeta) = h_\alpha(t,\zeta) \zeta^\mathcal{V} \zeta^R$の形の$J$-関数を構成する。
• $J$-関数が$H^*(M) \times \mathbb{C}^*$上の変形平坦接続$\tilde{\nabla}$を満たすことを示し、$\tilde{\nabla}_X Y = X^\alpha \partial_\alpha Y + \zeta X \star Y$および$\tilde{\nabla}_{\partial_\zeta} Y = \partial_\zeta Y - \frac{1}{2} E \star Y - \frac{1}{\zeta} \mathcal{V} Y$を満たす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SFT on $S^1 \times M$ から得られる可積分系は、$M$の量子コホノロジーから得られるものと一致するか？
• RQ2 Mのグロモフ＝ウィトテン不変量は、可積分PDEを満たすハミルトニアンをどのように生成するか？
• RQ3 基本クラスおよび除数公理から再帰的に、ハミルトニアン$h_{\alpha,j}$を完全に再構成可能か？
• RQ4 Eulerベクトル場$E$および行列$R$は、$J$-関数の同次性と平坦性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 $J$-関数は$H^*(M) \times \mathbb{C}^*$上の変形平坦接続$\tilde{\nabla}$の平坦セクションか？

主な発見

• SFT on $S^1 \times M$ から得られるハミルトニアン階層は、$M$の量子コホノロジーのフォロビウス多様体構造から生じる階層と同型である。
• ハミルトニアン$h_{\alpha,j}$は、基本クラス公理$\partial_1 h_{\alpha,j} = h_{\alpha,j-1}$と除数公理に基づき、$h_{\alpha,-1} = \sum \eta_{\alpha\beta} t^\beta$から出発して再帰的に決定される。
• 生成関数$h_\alpha(t,\zeta) = \sum_{k=0}^\infty h_{\alpha,k-1}(t) \zeta^k$は、$\langle \frac{\Delta_\alpha}{1 - \zeta \psi}, t, \ldots, t \rangle_0^A z^A$としてグロモフ＝ウィトテン不変量を符号化している。
• $J$-関数$J_\alpha(t,\zeta) = h_\alpha(t,\zeta) \zeta^\mathcal{V} \zeta^R$は、変形平坦接続$\tilde{\nabla}$を満たし、可積分性が確認される。
• $\tilde{\nabla}$の平坦性は、公理から導かれる同次性および再帰的条件と同値であり、$\mathcal{V}$および$R$は重み付けおよびチャーン類データを符号化している。
• この系は、量子コホノロジー環とそのフォロビウス構造によって完全に決定され、$J$-関数は$\tilde{\nabla}$下での平坦セクションとして与えられる。