[논문 리뷰] Integral action for setpoint regulation control of a reaction-diffusion equation in the presence of a state delay

Hugo Lhachemi, Ammar Malik외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 08. 24.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 24인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 상태 지연이 있는 일차원 반응-확산 PDE에 대해 스펙트럼 축소와 유한차원 PI 설계를 이용한 경계 PI 제어 법칙을 제안한다. 이를 통해 오른쪽 Dirichlet 경계 조건의 지수 안정성과 정확한 설정값 조절을 달성한다. 이 방법은 잘리지 않은 모델에 대한 극 이동과 입력-상태 안정성 분석을 통해 경계 외란과 지연 불일치에 대한 강건성을 확보한다.

ABSTRACT

This paper is concerned with the regulation control of a one-dimensional reaction-diffusion equation in the presence of a state-delay in the reaction term. The objective is to achieve the PI regulation of the right Dirichlet trace with a command selected as the left Dirichlet trace. The control design strategy consists of the design of a PI controller on a finite dimensional truncated model obtained by spectral reduction. By an adequate selection of the number of modes of the original infinite-dimensional system, we show that the proposed control design procedure achieves both the exponential stabilization of the original infinite-dimensional system as well as the setpoint regulation of the right Dirichlet trace.

연구 동기 및 목표

• 실제 시스템에서 흔한 상태 지연을 가진 PDE에 대한 PI 제어 전략 부족 문제를 해결한다.
• 반응 항에 상태 지연이 존재하는 반응-확산 방정식의 오른쪽 Dirichlet 경계 조건을 원하는 설정값으로 조절한다.
• 무한차원 닫힘 루프 시스템의 지수 안정성을 확보하면서 정확한 설정값 추적을 달성한다.
• 경계 외란과 지연 불일치에 대한 제어 설계의 강건성을 확보한다.
• 지연이 있는 반응-확산 PDE에 대한 이전의 안정화 결과를 정밀 조절을 위한 적분 작용을 포함하여 확장한다.

제안 방법

• 원래의 무한차원 PDE에 상태 지연이 있는 경우, 스펙트럼 축소를 적용하여 유한차원 잘라낸 모델을 유도한다.
• 닫힘 루프 역학의 허리츠 안정성을 보장하기 위해 극 이동 기법을 사용해 잘라낸 모델에서 PI 제어기를 설계한다.
• 잔류 무한차원 역학의 안정화를 위해 스펙트럼 잘라내기에서 사용하는 모드 수를 선택한다.
• 오른쪽 Dirichlet 경계 조건의 설정값 조절을 달성하기 위해 잘라낸 모델에 적분 성분을 추가한다.
• 리아푸노프-크라소브스키 함수를 사용하여 안정성 분석을 수행하고, 소규모 이득 원리를 적용하여 지연과 외란을 다룬다.
• 원래 모델과 동차 PDE 표현을 모두 분석하여 경계 외란에 대한 지수 입력-상태 안정성(이하 ISS)을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지연이 있는 반응-확산 PDE에 대해 PI 제어가 설정값 조절을 달성하는 데 효과적으로 적용될 수 있는가?
• RQ2 스펙트럼 축소와 유한차원 제어 설계를 통해 상태 지연이 있는 무한차원 PDE를 어떻게 안정화할 수 있는가?
• RQ3 잘라낸 모델에서의 모드 수에 대한 어떤 조건이 전체 시스템의 지수 안정성을 보장하는가?
• RQ4 적분 작용은 지연이 존재하는 상황에서도 오른쪽 Dirichlet 경계 조건의 정확한 설정값 추적을 어떻게 가능하게 하는가?
• RQ5 지연 불일치와 경계 외란에 대해 제어 설계의 강건성은 어떠한가?

주요 결과

• 제안된 PI 제어 설계는 상태 지연이 있는 원래의 무한차원 반응-확산 PDE에 대해 지수 안정성을 달성한다.
• 수치 시뮬레이션을 통해 오른쪽 Dirichlet 경계 조건의 설정값 조절이 참조 신호의 정확한 추적을 통해 확인되었다.
• 닫힘 루프 시스템은 경계 외란에 대해 지수 입력-상태 안정성(이하 ISS)을 확보하여 강건성을 보장한다.
• 지연 불일치는 성능의 부드러운 열화를 초래하지만, 명시된 값의 4배 이내에서는 불안정성이 관측되지 않았다.
• 지속적인 경계 편향(예: p(t) = 25)을 효과적으로 억제하여 조절 정확도를 유지한다.
• 스펙트럼 잘라내기에서 N=1 모드를 사용할 경우, 시뮬레이션을 통해 a=0.2, b=2, c=1, θ=π/3 조건에서 안정성과 조절이 성립함을 검증하였다.