[論文レビュー] Integral Canonical Models of Shimura Varieties of Preabelian Type

Adrian Vasiu|ArXiv.org|Jul 8, 2003

Advanced Algebra and Geometry被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、特に混合特徴値において、Dedekind環上の正則スキームの「健全」および「非常に健全」な性質を導入し、分析することで、前アーベル型の志村多様体の整数的 canonical モデルが存在するための条件を確立する。エタールおよびプロエタール被覆が健全な正規スキームの性質を保つことを証明し、Weil 制限と降下技術を用いて正則スキームが健全であるための基準を提示する。

ABSTRACT

We prove the existence of integral canonical models of Shimura varieties of preabelian type with respect to primes of characteristic at least 5.

研究の動機と目的

• Dedekind環上、特に混合特徴値において「健全」および「非常に健全」な正則スキームを定義し、特徴づけること。
• 局所化、完備化、および離散付値環を介した引き戻しによる健全スキーム性の安定性を調査すること。
• Weil 制限と降下を用いて、健全な正規スキーム上にアーベルスキームを拡張するための条件を確立すること。
• エタールまたはプロエタール被覆が健全な正規スキーム性を保つ条件を特定すること。
• 特に $ x^l + y^2 + z^2 + p = 0 $ のような方程式で定義される特異点を含む文脈において、健全だが「非常に健全」でない正則スキームの例を提供すること。

提案手法

• アーベルスキームの開部分スキーム上への拡張を研究するため、'拡張可能ペア' $ (Y, U) $ の概念を用いる。
• エタール被覆 $ Y_1 o Y $ からのアーベルスキームの拡張を、$ Y $ が健全であると仮定して、スカラーのWeil制限を適用する。
• 適切な条件下で、スキームの一般点上で定義されたアーベル曲を、開部分スキームへと降下させる理論を用いる。
• 古典的純粋性定理を適用して、整値的かつほとんど健全で、第一基本群が自明な正則スキームが必ず健全であることを示す。
• 完成が $ ext{Spec}(W(k)[[x,y,z]]/(x^l + y^2 + z^2 + p)) $ である局所スキームを分析し、健全だが「非常に健全」でない正則スキームの例を構成する。
• 正の特徴値における形式的滑らかさと忠実平坦性を用いて、局所環の健全性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Dedekind環上の正則スキームが「健全」または「非常に健全」とされるための条件は何か？
• RQ2 エタールまたはプロエタール準同型に関して、健全な正規スキーム性は降下または上昇するか？
• RQ3 スキームの開部分スキーム上で定義されたアーベルスキームが、底が健全であれば、全体のスキームへと拡張可能か？
• RQ4 健全だが「非常に健全」でない正則スキームの例は存在するか？ そしてそれらはどのように構成できるか？
• RQ5 ほとんど健全な性質が、特に自明な基本群の存在下で、どれほど健全な性質を意味するのか？

主な発見

• 任意の $ O $ 上の正則的かつ形式的滑らかなスキームで $ e < p-1 $ を満たすものは、健全な正則スキームである。
• ほとんど健全で第一基本群が自明な正則スキームは、古典的純粋性定理により、必ず健全である。
• エタール被覆は健全な正規スキーム性を保つ：$ Y $ が健全な正規スキームで、$ q: Y_1 o Y $ がエタール準同型で $ (Y_1, q^{-1}(U)) $ が拡張可能であれば、$ Y_1 $ も健全である。
• プロエタール被覆も、エタール被覆と同様の条件下で、健全な正規スキーム性を保つ。
• 例えば $ l > p > 3 $ で、$ k $ を特徴値 $ p $ の完全体とするとき、局所スキーム $ ext{Spec}(W(k)[[x,y,z]]/(x^l + y^2 + z^2 + p)) $ は、健全だが「非常に健全」でない正則スキームの例である。
• 抽象的な非常に健全な正則スキームのクラスは、局所化、完備化、形式的滑らかさ、および等分岐指数を持つ混合特徴値の離散付値環間の環準同型を介した引き戻しに関して安定である。