[논문 리뷰] Integral Iwasawa theory of Galois representations for non-ordinary primes

Kâzım Büyükboduk, Antonio Lei|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 22.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 11인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 허수의 소수에서 갈로아 표현에 대한 정수적 이와사와 이론을 개발하며, 국소 이와사와 코homology 위에 서명된 콜레먼 사상들을 구성하여 정수적 p진 L함수와 비탄성 세름 군을 정의한다. 명시적 상호법칙 추측 하에, 서명된 메인 추측의 포함관계 하나를 증명하며, 코바야시의 ±-이론을 CM 또는 전체 실수체 위의 허수-테이트 무게 0 또는 1을 가진 모티브로 일반화한다.

ABSTRACT

In this paper, we study the Iwasawa theory of a motive whose Hodge-Tate weights are $0$ or $1$ (thence in practice, of a motive associated to an abelian variety) at a non-ordinary prime, over the cyclotomic tower of a number field that is either totally real or CM. In particular, under certain technical assumptions, we construct Sprung-type Coleman maps on the local Iwasawa cohomology groups and use them to define integral $p$-adic $L$-functions and (one unconditionally and other conjecturally) cotorsion Selmer groups. This allows us to reformulate Perrin-Riou's main conjecture in terms of these objects, in the same fashion as Kobayashi's $\pm$-Iwasawa theory for supersingular elliptic curves. By the aid of our theory of Coleman-adapted Kolyvagin systems that we develop here, we deduce parts of Perrin-Riou's main conjecture from an explicit reciprocity conjecture.

연구 동기 및 목표

• 허수-테이트 무게 0 또는 1을 가진 모티브에 대해 코바야시의 ±-이와사와 이론을 비정상적인 갈로아 표현으로 확장한다.
• 스프ุง 유형의 콜레먼 사상들을 사용하여 비정상적인 설정에서 정수적 p진 L함수와 비탄성 세름 군을 정의한다.
• 페리에-루아의 메인 추측을 이러한 새로운 정수적 대상들로 재형식화한다.
• 콜레먼 적응 Kolyvagin 체계를 통해 메인 추측과 명시적 상호법칙 추측 사이의 연결 고리를 설정한다.
• 폴락의 ±-이론을 타원곡선에서 고차원 아벨 다양체와 모티브로 일반화한다.

제안 방법

• 디유돈느 모듈러 기저와 로그 행렬을 사용하여 국소 이와사와 코homology 군 위에 서명된 콜레먼 사상들을 구성한다.
• 이러한 콜레먼 사상들에 의해 비엘린스킨-카토 원소의 상으로 정수적 p진 L함수를 정의한다.
• 국소 조건을 콜레먼 사상의 핵의 직교보완으로 정의하여 새로운 세름 복합체를 도입한다.
• 콜레먼 적응 Kolyvagin 체계 이론을 적용하여 p진 L함수와 메인 추측을 연결한다.
• 명시적 상호법칙 추측을 사용하여 서명된 메인 추측의 포함관계 중 하나를 유도한다.
• 고전적 경우와의 일致를 확보하기 위해, 부호를 제외한 점에서 폴락의 ±-p진 L함수와 일致함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 허수-테이트 무게 0 또는 1을 가진 모티브의 맥락에서 비정상적인 갈로아 표현에 대해 서명된 콜레먼 사상을 구성할 수 있는가?
• RQ2 이러한 콜레먼 사상들을 사용하여 비정상적인 설정에서 정수적 p진 L함수를 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ3 페리에-루아의 메인 추측은 이러한 새로운 정수적 대상들로 서술된 서명된 메인 추측과 동치인가?
• RQ4 콜레먼 적응 Kolyvagin 체계 이론은 명시적 상호법칙 추측으로부터 메인 추측의 일부를 유도할 수 있는가?
• RQ5 이 틀은 코바야시의 ±-이론을 타원곡선을 초월해 어느 정도 일반화하는가?

주요 결과

• 논문은 특정 기술적 조건을 만족하는 p진 갈로아 표현 클래스에 대해 국소 이와사와 코homology 군 위에 서명된 콜레먼 사상들을 구성한다.
• 명시적 상호법칙 추측 하에, 정수적 p진 L함수를 정의하고 서명된 메인 추측의 포함관계 하나를 증명한다.
• 타원곡선에서 초승격 감소와 a_p = 0인 경우, 구성된 p진 L함수는 폴락의 ±-p진 L함수와 부호를 제외한 점에서 일치한다.
• 콜레먼 사상의 핵을 통해 정의된 세름 군들이 타원곡선의 경우 코바야시의 ±-세름 군들과 동형임을 보였다.
• 콜레먼 적응 Kolyvagin 체계 이론을 통해 메인 추측의 포함관계를 명시적 상호법칙 추측으로부터 유도할 수 있다.
• 이 이론은 코바야시와 폴락의 ±-이와사와 이론을 p에서 비정상적인 감소를 가진 아벨 다양체와 관련된 모티브로 일반화한다.