[論文レビュー] Integral theory for Hopf (co)quasigroups

J. Klim|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2010

Mathematics and Applications参考文献 4被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、非結合的ホップ代数の一般化であるホップ（余）準群に対して、左および右の積分、フーリエ変換を定義し、それらの双対性を確立することで、積分論の統合的理論を構築する。有限次元ホップ（余）準群はスカラー倍を除き一意な積分を有し、逆元を持つアンチポーダを備えることが証明され、フロベニウス、分離可能、半単純構造への応用が示される。

ABSTRACT

We recall the notion of a Hopf (co)quasigroup defined in \cite{Kl09} and define integration and Fourier Transforms on these objects analogous to those in the theory of Hopf algebras. Using the general Hopf module theory for Hopf (co)quasigroups from \cite{Br09} we show that a finite dimensional Hopf (co)quasigroup has a unique integration up to scale and an invertible antipode. We also supply the inverse Fourier transformation and show that it maps the convolution product on $H$ to the product in its dual $H^*$. Finally, we further develop the theory to consider Frobenius Hopf (co)quasigroups, separability and semisimplicity.

研究の動機と目的

• ホップ代数からの積分およびフーリエ変換理論を、非結合的ホップ（余）準群へ拡張すること。
• ホップモジュール理論を用いて、有限次元ホップ（余）準群における積分の存在および一意性を確立すること。
• ホップ（余）準群の文脈において、フロベニウス、分離可能、半単純構造を特徴づけること。
• マシュケの定理の一般化を行い、非退化な積分を用いて半単純性の基準を証明すること。

提案手法

• 右A-ホップモジュールに関して $ M \cong M^{\widehat{coA}} \otimes A $ というホップモジュールの同型を用いて、ホップ準群上の左および右の積分を定義する。
• 双対代数上での点乗積へ、H 上の畳み込み積を写像するフーリエ変換 $ F: H \to H^* $ を構成する。
• 文献[1]のホップモジュール補題を用いて、有限次元設定において積分がスカラー倍を除き一意に存在することを証明する。
• 有限次元ホップ余準群が非退化な左積分を有するための必要十分条件が $ \varepsilon(\Lambda) \neq 0 $ であることを証明し、マシュケの定理を一般化する。
• 分離可能性を、分離元 $ \omega = \Lambda_{(1)} \otimes S\Lambda_{(2)} $ を用いて定義し、積分が分離可能性を導くことを示す。
• 余可換で柔軟なホップ準群では $ S^2 = \mathrm{id} $ が成り立つことを示し、対称的フーリエ双対性を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元ホップ（余）準群はスカラー倍を除き一意な積分を有するか？
• RQ2 ホップ（余）準群におけるフーリエ変換は、双対代数上での点乗積へ畳み込み積を写像できるか？
• RQ3 ホップ（余）準群が分離可能または半単純であるための条件は何か？
• RQ4 積分の存在がフロベニウスおよび半単純性の性質とどのように関係するか？
• RQ5 ホップ（余）準群に対して、マシュケの定理のどの一般化が成立するか？

主な発見

• すべての有限次元ホップ（余）準群は、スカラー倍を除き一意な左積分を有し、$ \varepsilon(\Lambda) = 1 $ とすることが可能である。
• フーリエ変換 $ F: H \to H^* $ は、H 上の畳み込み積を H^* 上の点乗積へ写像し、その逆写像が明示的に構成される。
• 有限次元ホップ余準群が分離可能であるための必要十分条件は、$ \varepsilon(\Lambda) = 1 $ を満たす左積分 $ \Lambda $ が存在することであり、分離元は $ \omega = \Lambda_{(1)} \otimes S\Lambda_{(2)} $ で与えられる。
• 有限次元で、余可換かつ柔軟なホップ準群は、左積分の存在により分離可能である。
• 有限次元ホップ余準群が半単純であるための必要十分条件は、$ \varepsilon(\Lambda) \neq 0 $ を満たす非特異な左積分 $ \Lambda $ が存在することである。
• 非退化な積分の存在は、すべての左加群の完全可約性を意味し、非結合的設定においてマシュケの定理を一般化する。