[論文レビュー] Integrals over SU(N)

Jesse Carlsson|ArXiv.org|Feb 22, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、2+1次元のハミルトニアン格子規.gs理論におけるグルーオン質量のプラケット展開計算に不可欠なSU(N)群積分を解析的に計算する手法を提示する。特性展開と修正ベッセル関数を用いて、群要素のトレースおよびその共役に関する積分の閉形式表現を導出し、強結合基底状態を超えたバリエーショナル計算を可能にする。

ABSTRACT

In this paper we calculate a number of integrals over SU(N) of interest in Hamiltonian Lattice Gauge Theory calculations.

研究の動機と目的

• ハミルトニアン格子規.gs理論において従来は数値的に計算されるべきであるSU(N)群積分の解析的技術の開発。
• 強結合基底状態にとどまらず、2+1次元においてより複雑な試行状態を含めたバリエーショナル法の拡張。
• プラケット展開法に不可欠な、SU(N)群要素のトレースおよびその共役に関する積分の閉形式表現の提供。
• モンテカルロ積分を正確な解析的結果に置き換えることで、グルーオン質量のより高精度なバリエーショナル推定を可能にする。

提案手法

• 特性展開を用いて、修正ベッセル関数とトーペリッツ行列式を介して、SU(N)積分の母関数を導出する。
• ウェイの特性公式を適用し、群要素のべき乗のトレースを非可約特性関数で表現する。
• 特性関数とトレースの関係を用いて、Tr(U^n)の多項式関数に関する積分を特性関数に関する積分に変換する。
• ハア測度および群特性関数の直交性を用いて、多プラケット積分を単一プラケット積分の積に還元する。
• 既知の単一プラケット積分を用いて、隣接するプラケットの行列要素の積に関する積分を体系的に計算する手法を導入する。
• I_{ab;cd}(c)およびJ_{ab;cd}(c)を含む標準的積分の組み合わせに複雑なループ積分を還元することで、結果の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 プラケット展開法に生じるSU(N)群積分を、数値的ではなく解析的に計算することは可能か？
• RQ2 Tr(U^n)およびTr(U^{†})^mを含む積分は、既知の特殊関数でどのように表現できるか？
• RQ3 2+1次元格子規.gs理論における隣接するSU(N)行列を含む多プラケット積分の解析的構造は何か？
• RQ4 これらの積分を用いて、強結合極限を超えたグルーオン質量のバリエーショナル推定を改善できるか？
• RQ5 特性展開および修正ベッセル関数は、規.gs理論計算におけるSU(N)積分を簡略化する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿では、∫_SU(N) dU exp(c Tr U + d Tr U†) の閉形式表現を、周期性を示すlに関する修正ベッセル関数I_{l+j-i}(2√(cd))の和として導出する。
• ∫_SU(N) dU χ_{n₁…n_N}(U) exp(c Tr U + d Tr U†) は、インデックスがずれた修正ベッセル関数の和と、(d/c)^{∑n_k/2} の位相因子を含む形で表現される。
• 本手法により、隣接する2つのプラケットの行列要素の積に関する積分を解析的に計算可能であり、たとえばZ₁(c,N) = N²b₁² + 2Nb₁b₂ + N²b₂²（b₁およびb₂は単一プラケット積分からの係数）が得られる。
• Z₄(c,N)、Z₇(c,N)、Z₉(c,N) などの特定の積分は、I_{ab;cd}(c)およびJ_{ab;cd}(c)の組み合わせとして導出され、明示的なNおよび修正ベッセル関数の項を含む。
• Z₃(c,N) = Z₁(c,N) が成り立つことから、ループの進行方向の反転に対して対称性が確認され、Z₆(c,N) = Z₅(c,N) は特定の行列要素構造における degeneracy を示す。
• 特性関数の再帰的展開技術を用いることで、3つ以上のプラケットへの拡張が可能となり、2+1次元格子規.gs理論における高次ループ積分の体系的計算が可能になる。