[論文レビュー] Interaction Graphs: Full Linear Logic

Thomas Seiller|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2015

Logic, programming, and type systems参考文献 35被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、連続的測度空間上のインタラクショングラフを用いて、2次関数の量化を含む完全な線形論理の定量的で動的なモデルを提示する。離散的インタラクショングラフを連続的方言に対する作用をもつグラフィングに一般化することで、資源追跡や確率的計算といった定量的特徴を保持しつつ、指数的接続子と2次関数型の完全な解釈を達成する。

ABSTRACT

Interaction graphs were introduced as a general, uniform, construction of dynamic models of linear logic, encompassing all "Geometry of Interaction" (GoI) constructions introduced so far. This series of work was inspired from Girard's hyperfinite GoI, and develops a quantitative approach that should be understood as a dynamic version of weighted relational models. Until now, the interaction graphs framework has been shown to deal with exponentials for the constrained system ELL (Elementary Linear Logic) while keeping its quantitative aspect. Adapting older constructions by Girard, one can clearly define "full" exponentials, but at the cost of these quantitative features. We show here that allowing interpretations of proofs to use continuous (yet finite in a measure-theoretic sense) sets of states, as opposed to earlier Interaction Graphs constructions were these sets of states were discrete (and finite), provides a model for full linear logic with second order quantification.

研究の動機と目的

• 完全な線形論理（2次関数の量化および完全な指数的モダリティを含む）をモデル化するため、インタラクショングラフフレームワークを拡張すること。
• 以前の制限された断片ELL（Elementary Linear Logic）を超えて、資源会計や確率的重みといった定量的意味論を保持すること。
• 定量的特徴と完全な指数的接続子の間のトレードオフを克服し、定量的側面を犠牲にすることなく、完全な指数的挙動を可能にすること。
• 既存の幾何学的インタラクション（GoI）構成を一般化し、一様で動的かつ幾何的である線形論理の意味論を提供すること。
• 確率的選択や有界線形論理のモダリティといった高度な計算的現象を、統一された意味論フレームワーク内でモデル化できること。

提案手法

• 離散的インタラクショングラフを、測度空間 X 上の幾何的実現であるグラフィングに一般化し、連続的な状態集合を許容する。
• 方言を X の可測部分集合に定義し、重み構造を備えることで、連続的かつ有限測度の状態空間を可能にする。
• これらの連続的方言上で作用するグラフィングを用いて証明の意味論的解釈を構築し、重みが資源消費や確率を表すようにする。
• 確率的重みに従って方言を分割する重み付き収縮操作を導入し、確率的和の解釈を可能にする。
• 指数的モダリティ !A を用いて、収縮と弱体化を定量的にモデル化し、測度論的有限性を失うことなく完全な指数的挙動を実現する。
• マイクロコスム構成を活用し、グラフィングが方言にどのように作用するかを制御することで、計算複雑度クラスや計算原理の特徴付けを可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 インタラクショングラフは、2次関数の量化を含む完全な線形論理をモデル化しつつ、定量的意味論を保持できるか？
• RQ2 連続的かつ有限測度の状態空間を用いて、定量的特徴を失うことなく完全な指数的接続子を解釈できるか？
• RQ3 連続的方言上の重み付き収縮を用いて、確率的計算をモデル化できるか？
• RQ4 この連続的インタラクショングラフモデル内で、有界線形論理のモダリティおよび資源多態型を解釈できるか？
• RQ5 マイクロコスム構成は、モデルにおける計算原理の制御および複雑度特徴付けをどのように可能にするか？

主な発見

• 本フレームワークは、離散的インタラクショングラフを連続的測度空間上のグラフィングに拡張することで、2次関数の量化を含む完全な線形論理を成功裏にモデル化した。
• 資源追跡や確率的重みといった定量的特徴を保持しており、以前の構成が完全な指数的接続子を得るために定量的側面を犠牲にしていたという制限を克服した。
• 確率的計算は、連続的方言上の重み付き収縮を用いてモデル化され、方言の分割が確率的重み（例：公平なコイン投げでは 1/2）に対応する。
• グラフィングの使用により、無限であるが有限測度である構造の幾何的実現が可能となり、無制限の指数的演算を定量的に解釈できるようになった。
• 本モデルはギラールの超有限GoIを一般化し、カット除去を実行操作として捉える動的で型なしの意味論を提供する。
• マイクロコスム構成により、グラフィングが方言に作用する方法を制限することで、計算複雑度クラスの特徴付けが可能となり、複雑度論的解析への道筋が開かれた。