[論文レビュー] Interior regularity of fully nonlinear degenerate elliptic equations, I: Bellman equations with constant coefficients

Wei Zhou|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2013

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、定数係数を有する確率的最適制御問題の価値関数について、内部で $C^{k,1}$-正則性を確立する。すなわち、終端報酬および走行報酬が $C^{k,1}$ であるとき、価値関数は局所的にこの滑らかさを継承することを証明する。主な貢献は、一般の構造的仮定の下で、退化するベルマン方程式（Monge-Ampère型およびヘッセ型方程式を含む）に対する新たな $C^{1,1}$-正則性結果の確立である。

ABSTRACT

This is the first of a series of papers on the interior regularity of fully nonlinear degenerate elliptic equations. We consider a stochastic optimal control problem in which the diffusion coefficients, drift coefficients and discount factor are independent of the spacial variables. Under suitable assumptions, for $k=0,1$, when the terminal and running payoffs are globally $C^{k,1}$, we obtain the $C^{k,1}$-smoothness of the value function, which yields the existence and uniqueness of the solution to the associated Dirichlet problem for the degenerate Bellman equation.

研究の動機と目的

• 定数拡散、ドリフト、割引係数を有する確率的最適制御問題の価値関数の内部 $C^{k,1}$-正則性を確立すること。
• 拡散係数の非退化性を仮定しない第二順階楕円型偏微分方程式における退化性および完全非線形構造の課題に対処すること。
• 報酬関数の正則性仮定を最小限に抑えた状態で、解の一次および二次微分の鋭い内部推定を提供すること。
• 直交変換に関するヘッセ行列に関する合同変換に関して不変な完全非線形退化楕円型方程式（Monge-Ampère方程式など）の正則性理論を拡張すること。
• 境界データが $C^{k,1}$ であっても、グローバルな $C^{k,1}$-正則性は保証されないため、内部正則性が一般には達成可能な最良の結果であることを示すこと。

提案手法

• ドメイン $D \subset \mathbb{R}^d$ 内の時不変な確率的制御問題の価値関数を分析し、イ伊to拡散および制御ダイナミクスに定数係数を仮定する。
• イタロの公式および価値関数の確率的表現を用いた正則性推定を導出するための確率的手法を用いる。
• 走行報酬の凸性条件を満たすために、二次補正項を用いた摂動論法を適用し、凸性仮定の下で $C^{1,1}$-正則性を達成する。
• 動的計画法を用いて、定数係数を有する退化ベルマン方程式を導出する。
• 停止時刻および停止分布を含む比較論法とモーメント推定の組み合わせを用いて、一次および二次微分の内部推定を確立する。
• 部分レベル集合の境界付近における二次微分の成長を制御するため、$\overline{\mathrm{B}}(x,\xi)$ および $\mathrm{B}_1(x,\xi)$ を用いたバリア関数技法を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定数係数を有する確率的制御問題の価値関数が、ドメイン内部で $C^{1,1}$-正則性を示す条件は何か？
• RQ2 拡散係数の非退化性を仮定しない状態で、退化ベルマン方程式について内部 $C^{1,1}$-正則性を確立できるか？
• RQ3 走行報酬および終端報酬関数の正則性特性が、価値関数の正則性にどのように影響するか？
• RQ4 退化ベルマン方程式の解について、一次および二次微分の鋭い内部推定は何か？
• RQ5 $C^{k,1}$-境界データの正則性が内部にどの程度まで伝播可能か、そしてなぜグローバル正則性が保証されないのか？

主な発見

• $f^\alpha, g \in C^{0,1}(\bar{D})$ ならば、価値関数 $v \in C^{0,1}_{\text{loc}}(D) \cap C^0(\bar{D})$ であり、内部 $C^{0,1}$-正則性が確立される。
• $f^\alpha \in C^{0,1}(\bar{D})$, $g \in C^{1,1}(\bar{D})$, かつある $K$ に対して $f^\alpha + K|x|^2$ が $D$ 内で凸であるならば、適切な二次補正項を加えることで $v$ は凸である。
• 拡散項の弱い非退化性の下で、$v \in C^{1,1}_{\text{loc}}(D) \cap C^{0,1}(\bar{D})$ であり、このクラスに一意な解が存在する。
• 一次および二次微分の内部推定が提供される：$\|Dv\|_{C^{0,1}(B_r(x))} \leq N \cdot \frac{1}{\text{dist}(x,\partial D)} \|v\|_{L^\infty}$ であり、鋭い発散レートを示す。
• 二次微分推定は $|(-v)_{(\xi)(\xi)}(x)| \leq N \overline{\mathrm{B}}(x,\xi)$ を満たし、$\overline{\mathrm{B}}(x,\xi)$ が境界付近での成長を制御する。
• 境界データが $C^{k,1}$ であってもグローバルな $C^{k,1}$-正則性は保証されないため、結果は最適であり、内部正則性が一般には達成可能な最良の結果である。