[논문 리뷰] Interlacing Families I: Bipartite Ramanujan Graphs of All Degrees

Adam W. Marcus, Daniel A. Spielman외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 04. 15.

Graph theory and applications참고 문헌 34인용 수 46

한 줄 요약

이 논문은 모든 2보다 큰 차수에 대해 무한한 수의 이분 Ramanujan 그래프의 존재를 증명하기 위해 다항식의 교차 기법을 도입한다. 이는 오랫동안 남아있던 추측을 해결한 것이다. 무작위로 부호가 붙은 인접 행렬의 기대 특성다항식의 근을 분석하고 특수한 다항식 가족의 교차 성질을 활용함으로써, 최적의 스펙트럼 확산을 가지는 이러한 그래프가 존재한다는 것을 입증한다. 이는 스펙트럼 반경이 이론적 한계에 맞는 비정규 '이분기반' 변형도 포함된다.

ABSTRACT

We prove that there exist infinite families of regular bipartite Ramanujan graphs of every degree bigger than 2. We do this by proving a variant of a conjecture of Bilu and Linial about the existence of good 2-lifts of every graph. We also establish the existence of infinite families of `irregular Ramanujan' graphs, whose eigenvalues are bounded by the spectral radius of their universal cover. Such families were conjectured to exist by Linial and others. In particular, we prove the existence of infinite families of (c,d)-biregular bipartite graphs with all non-trivial eigenvalues bounded by sqrt{c-1}+sqrt{d-1}, for all c, d \geq 3. Our proof exploits a new technique for demonstrating the existence of useful combinatorial objects that we call the "method of interlacing polynomials'".

연구 동기 및 목표

• 모든 d > 2에 대해 d-정규 이분 Ramanujan 그래프의 무한한 가족 존재에 관한 Lubotzky의 추측을 해결하기 위해.
• 모든 그래프에 대해 좋은 2-리프트가 존재한다는 Bilu-Linial 추측의 변형을 증명하기 위해.
• 비정규 'Ramanujan' 그래프의 무한한 가족이 존재함을 입증하여, 비자명한 고유값이 그들의 보편 커버의 스펙트럼 반경으로 제한됨을 보장하기 위해.
• 교차 다항식 기법을 새로운 존재 증명 기법으로 개발하고, 스펙트럼 제약 조건을 가진 조합적 객체에 적용하기 위해.

제안 방법

• 교차 다항식 가족의 개념을 도입하여, 다항식의 근이 통제된 방식으로 교차하도록 정의된 다항식 가족을 정의한다.
• 모든 교차 다항식 가족에서, 다항식들의 합의 가장 큰 근보다도 가장 큰 근이 유한한 다항식이 적어도 하나 존재함을 증명한다.
• 이를 무작위로 부호가 붙은 인접 행렬의 기대 특성다항식에 적용하여, 안정성 성질을 통해 실근을 가짐을 보인다.
• 부호가 붙은 인접 행렬의 특성다항식의 합이 원래 그래프의 매칭 다항식과 같음을 보이고, 이는 근이 유계임이 알려져 있음을 이용한다.
• 교차 성질을 이용하여, 모든 비자명한 고유값이 Ramanujan 경계 내에 있는 부호화가 적어도 하나 존재함을 결론 내린다.
• 간선 부호와 차수 조정으로 유도된 랭크-1 행렬을 포함하는 혼합 특성다항식을 구성함으로써, 이 방법을 이분기반 그래프로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 d > 2에 대해 d-정규 이분 Ramanujan 그래프의 무한한 가족이 존재하는가?
• RQ2 Bilu와 Linial이 추측한 lin에 따라, 모든 그래프가 2-리프트되어 모든 비자명한 고유값이 O(√d log³d)로 제한되는 그래프를 생성할 수 있는가?
• RQ3 비정규 Ramanujan 그래프의 무한한 가족이 존재하는가? 이 경우 고유값은 보편 커버의 스펙트럼 반경으로 제한된다.
• RQ4 교차 다항식 기법을 사용하여 최적의 스펙트럼 성질을 가진 조합적 객체의 존재를 증명할 수 있는가?
• RQ5 무작위 부호화 또는 리프트로부터 유도된 실근을 가진 다항식의 존재를 보장하는 일반적인 프레임워크는 존재하는가? 이 경우 개별 다항식은 실근을 가질 필요는 없다.

주요 결과

• 저자들은 모든 d > 2에 대해 d-정규 이분 Ramanujan 그래프의 무한한 가족 존재를 증명하여, Lubotzky의 추측을 해결하였다.
• 모든 c,d ≥ 3에 대해, 모든 비자명한 고유값이 √(c−1) + √(d−1)로 제한되는 (c,d)-이분기반 이분 그래프의 무한한 가족 존재를 입증하였다.
• 교차 다항식 기법이, 그래프의 간선에 대한 부호화가 존재하여 그로 인해 생성된 2-리프트 그래프의 모든 비자명한 고유값이 Ramanujan 경계 내에 있음을 보장하는 데 효과적임을 입증하였다.
• 그래프의 인접 행렬에 대한 무작위 부호화의 기대 특성다항식은 실근을 가지며, 그 가장 큰 근은 매칭 다항식의 가장 큰 근으로 제한된다.
• 증명 기법은 일반적으로 #P-난이도이므로 다항식 시간 알고리즘이 되지 않으며, 매칭 다항식을 계산하는 것은 일반적으로 어렵다.
• 이 방법은 이후 시리즈의 두 번째 논문에서 Kadison–Singer 문제의 해결에 기초가 되었다.