[論文レビュー] Internal Symmetry Group and Density Matrix of Fields with Spins 0, 1

S. I. Kruglov|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2001

Crystallography and Radiation Phenomena参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、スピン 0 および 1 の中性ベクトル場の内部対称性群 U(3,1) を正準ハミルトニアン形式を用いて調査し、保存則および不定計量を伴う量子化場理論を導出する。U(3,1) 群が電磁力学において U(2) に簡約されることを示し、射影行列-双対を用いた線形独立な解の構成により、スピン 0 およびスピン 1 状態の重ね合わせを記述する場が、純粋スピン状態の明示的密度行列を伴って確認される。

ABSTRACT

The internal symmetry group U(3,1) of the neutral vector fields with two spins 0 and 1 is investigated. Massless fields correspond to the generalized Maxwell equations with the gradient term. The symmetry transformations in the coordinate space are integro-differential transformations. Using the method of the Hamiltonian formalism the conservation tensors are found, and the quantized theory is studied. The necessity to introduce an indefinite metric is shown. The internal symmetry group U(3,1) being considered, after the transition to electrodynamics, reduces to the U(2) group. It is shown that the group of dual transformations is the subgroup of the group under consideration. All the linearly independent solutions of the equation for a free particle obtained in terms of the projection matrix-dyads.

研究の動機と目的

• スピン 0 およびスピン 1 の粒子を同時に記述する中性ベクトル場の内部対称性群 U(3,1) を調査すること。
• スピン 0 およびスピン 1 を併せ持つ質量のあるおよび質量のない Stueckelberg 型ベクトル場に対して、保存則およびハミルトニアン形式を導出すること。
• 場の多スピン性に起因し、量子化理論において不定計量が必要となることを示すこと。
• 射影行列-双対を用いて自由粒子の線形独立な解を構成し、純粋スピン 0 およびスピン 1 状態を分離すること。
• 電磁力学の文脈において U(3,1) 対称性が U(2) に簡約されることを示し、双対変換を部分群として特定すること。

提案手法

• 質量のある・ない両ケースに適用可能な中性ベクトル場のラグランジアンを $\mathcal{L} = -\frac{1}{2}\left[(\partial_\mu B_\nu)^2 + m^2 B_\mu^2\right]$ として定式化する。
• 正準形式を適用し、ハミルトニアン密度および場の共役運動量を導出し、運動量空間におけるハミルトニアンを導出する。
• ネーターの定理を用いて、場の変換における SO(3,1) 対称性から保存されるスピンおよび軌道的角運動量テンソルを導出する。
• パウリ＝ルバンスキー演算子およびその二乗形を導入し、スピン量子数を決定する。固有値が $s(s+1) = 0$ および $2$ であることを示す。
• 純粋スピン 0 およびスピン 1 状態を抽出するための射影演算子 $S_{(0)}^2$ および $S_{(1)}^2$ を構成し、さらに $\sigma_p$ を用いてスピン投影 $\pm1$ および $0$ への射影を実行する。
• 純粋スピン状態の明示的密度行列 $\Delta_{\varepsilon,\pm1}$, $\Delta_{\varepsilon}^{(1)}$, および $\Delta_{\varepsilon}^{(0)}$ を、行列-双対 $\Psi \cdot \overline{\Psi}$ の形で導出する。これは量子化場に対して有効である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スピン 0 およびスピン 1 の粒子を記述する中性ベクトル場の内部対称性群は何か？
• RQ2 正準ハミルトニアン形式は、このような多スピン場におけるスピンおよび軌道的角運動量の保存則をどのように明らかにするか？
• RQ3 この場の量子化理論においてなぜ不定計量が必要となるのか？
• RQ4 この場の波動関数は、どのようにしてスピン 0 およびスピン 1 の純粋状態に、明確なスピン投影を伴って射影できるか？
• RQ5 U(3,1) 群は電磁力学においてどのように U(2) に簡約されるのか。双対変換はこの構造の中で果たす役割は何か？

主な発見

• スピン 0 およびスピン 1 を持つ中性ベクトル場の内部対称性群は U(3,1) であり、電磁力学の極限において U(2) に簡約される。
• スピン 0 およびスピン 1 の自由度が共存するため、場理論は不定計量を必要とし、ハミルトニアンおよび計量演算子 $\eta$ の構造によって確認される。
• スピンの二乗演算子 $\sigma^2$ は $\sigma^2(\sigma^2 - 2) = 0$ を満たし、固有値 $s(s+1) = 0$ および $2$ を得る。これにより、スピン 0 およびスピン 1 状態の重ね合わせが確認される。
• 射影演算子 $S_{(0)}^2 = 1 - \sigma^2/2$ および $S_{(1)}^2 = \sigma^2/2$ は、純粋スピン 0 およびスピン 1 状態を効果的に分離する。
• 純粋状態の密度行列は行列-双対として構成される：$\Delta_{\varepsilon,\pm1} = \Psi_{\varepsilon,\pm1} \cdot \overline{\Psi}_{\varepsilon,\pm1}$ などであり、運動量および質量パラメータを含む明示的表現が得られる。
• スピン投影演算子 $\sigma_p$ は $\sigma_p(\sigma_p - 1)(\sigma_p + 1) = 0$ を満たし、$\widehat{S}_{(\pm1)} = \frac{1}{2}\sigma_p(\sigma_p \pm 1)$ を用いて $s_p = \pm1$ および $s_p = 0$ 状態への射影が可能である。