[論文レビュー] Intersection cohomology of rank two character varieties of surface groups

Mirko Mauri|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2021

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 68被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$\mathrm{GL}_2$、$\mathrm{SL}_2$、$\mathrm{PGL}_2$ に対するランク2の特徴的多様体およびヒッグスバンドルモジュライ空間の交差E多項式とペイオネール多項式を、キルマン–オー・グレイドの特異点解消と分解定理を用いて、$g \geq 2$ の種数のリーマン面上で計算する。主な貢献は、交差E多項式が回文的であることの証明であり、P=W予想の基礎的結果を確立している。これには、$\mathrm{SL}_2$ と $\mathrm{GL}_2$ におけるPI=WIの同値性、低次のタウトロジカル生成、および特異点を持つ場合にシンプレクティック解消が存在しないときのP=Wの不成立が含まれる。

ABSTRACT

For $G = \mathrm{GL}_2, \mathrm{SL}_2, \mathrm{PGL}_2$ we compute the intersection E-polynomials and the intersection Poincaré polynomials of the $G$-character variety of a compact Riemann surface $C$ and of the moduli space of $G$-Higgs bundles on $C$ of degree zero. We derive several results concerning the P=W conjectures for these singular moduli spaces.

研究の動機と目的

• $G = \mathrm{GL}_2, \mathrm{SL}_2, \mathrm{PGL}_2$ に対する、種数 $g \geq 2$ のリーマン面上の $G$-特徴的多様体およびヒッグスバンドルモジュライ空間の交差E多項式とペイオネール多項式を計算すること。
• P=W予想の検証に不可欠な幾何的不変量を明示的に提供すること。
• 特に、シンプレクティック解消が存在しない場合に、特異なモジュライ空間におけるP=W予想の妥当性を調査すること。
• $\mathrm{SL}_2$ と $\mathrm{GL}_2$ におけるPI=WI予想の同値性を確立し、低次の交差コホモロジーにおけるタウトロジカルクラスの生成を分析すること。
• 特徴的多様体にシンプレクティック解消が存在しない場合、解消に関するP=W予想が成立しないことを示すこと。

提案手法

• モジュライ空間 $M$ の特異点を解消するため、キルマン–オー・グレイドの特異点解消 $\pi_T: T \to M$ を用いる。
• 混合ホッジモジュールの導来圏における分解定理を適用し、$R\pi_{T,*}\mathbb{Q}[\dim T]$ の分解を実行し、すべての直和成分を同定する。
• 程々のLerayフィルトレーションと半射的多様体上の混合ホッジ構造を用いて、コホモロジー的不変量を分析する。
• 安定同型特異点原理を用い、特異点の局所モデルとグローバル不変量を関連付ける。
• 分解定理の成分を計算するために、インシデント多様体 $I_{2g-3}$ および特異点集合 $\Sigma$ と $\Omega$ の幾何を分析する。
• $g > 3$ のとき $H^*(M_{\mathrm{Dol}})$ が純粋でないことと、トーリル群の作用を用いて、写像 $H^*(M) \to IH^*(M)$ の非単射性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathrm{GL}_2$-特徴的多様体の交差E多項式は回文的か？ そして、これはPI=WI予想を支持するか？
• RQ2 $\mathrm{SL}_2$ と $\mathrm{GL}_2$ におけるPI=WI予想は同値か？ そして、これはコホモロジーの $\Gamma$-不変部分の問題に還元可能か？
• RQ3 タウトロジカルクラスは $IH^{<4g-6}(M)$ をどの程度まで生成するか？ そして、これはP=W予想とどのように関係するか？
• RQ4 特徴的多様体にシンプレクティック解消が存在しない場合、解消に関するP=W予想は失敗するか？ その理由は何か？
• RQ5 トーリル群は、$g > 3$ のとき、写像 $H^*(M) \to IH^*(M)$ の非単射性を妨げる役割を果たすか？

主な発見

• $G = \mathrm{GL}_2$ の交差E多項式 $IE(M_{\mathrm{B}})$ は回文的であり、PI=WI予想に対する数値的証拠を提供する。
• $\mathrm{SL}_2$ におけるPI=WI予想は $\mathrm{GL}_2$ におけるそれと同値であり、検証問題はコホモロジーの $\Gamma$-不変部分に還元可能である。
• 交差コホモロジー $IH^{<4g-6}(M)$ はタウトロジカルクラスによって自由に生成される。これは、低次の部分における部分的なタウトロジカル生成を支持する。
• $g > 3$ のとき、自然な写像 $H^*(M) \to IH^*(M)$ は単射でない。これは、$H^*(M_{\mathrm{Dol}})$ が純粋でないことを意味する。
• 特徴的多様体 $M(C,\mathrm{GL}_n)$ にシンプレクティック解消が存在しない場合、解消に関するP=W予想は、例外的除集合からのコホモロジー類の重みの不一致によって失敗する。
• キルマン–オー・グレイドの特異点解消は、シンプレクティック解消が存在する場合に限り、P=W予想の解消版を満たす。これは、半小形性とシンプレクティック構造の必要性を強調する。