[論文レビュー] Intersection Theory in Differential Algebraic Geometry: Generic Intersections and the Differential Chow Form

Xiao-Shan Gao, Wěi Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2010

Polynomial and algebraic computation参考文献 4被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、一般の微分多項式における交線理論を確立し、次を証明する：次元 $d$ で位数 $h$ の既約微分代数的多様体と、位数 $s$ の一般の微分超曲面の交わりは、次元 $d-1$ で位数 $h+s$ の多様体をもたらす。これは一般系における微分次元予想を解決し、微分チャウ形式と一般化された微分結果式を導入することで、代数的幾何における主要な概念を微分代数的幾何へと拡張し、類似の性質を有する。

ABSTRACT

In this paper, an intersection theory for generic differential polynomials is presented. The intersection of an irreducible differential variety of dimension $d$ and order $h$ with a generic differential hypersurface of order $s$ is shown to be an irreducible variety of dimension $d-1$ and order $h+s$. As a consequence, the dimension conjecture for generic differential polynomials is proved. Based on the intersection theory, the Chow form for an irreducible differential variety is defined and most of the properties of the Chow form in the algebraic case are established for its differential counterpart. Furthermore, the generalized differential Chow form is defined and its properties are proved. As an application of the generalized differential Chow form, the differential resultant of $n+1$ generic differential polynomials in $n$ variables is defined and properties similar to that of the Macaulay resultant for multivariate polynomials are proved.

研究の動機と目的

• 一般の微分多項式における微分次元予想を、一般の超曲面との交わりの分析によって解決すること。
• 微分チャウ形式を定義し、代数的チャウ形式の微分版としての性質を確立すること。
• 一般化された微分チャウ形式を導入し、それを用いて微分結果式を厳密に定義すること。
• マコーレイ結果式の性質（同次性および消失条件など）を微分的設定へと拡張すること。
• チャウ形式と準素多様体を用いて、消去理論および射影的微分代数的幾何の基盤を築くこと。

提案手法

• すべての単項式が所定の位数および次数まで含まれ、係数が微分不定元であるような多項式として、一般の微分多項式を定義する。
• 一般次元定理を証明する：次元 $d$ で位数 $h$ の素イデアルと、位数 $s$ の一般多項式の交わりは、次元 $d-1$ で位数 $h+s$ の素イデアルをもたらす。
• 微分チャウ形式を、多様体を符号化する $ abla$-同次 $ abla$-多項式として定義し、明示的な位数および因数分解の性質を有する。
• チャウ準素多様体を、サイクルのパラメータ空間として定義し、代数的チャウ多様体を一般化する。
• $n$ 個の変数における $n+1$ 個の微分多項式の系に対して、一般化された微分チャウ形式を導入する。
• 微分結果式を、系に共通解が存在する場合に限り消失する $ abla$-多項式として定義し、マコーレイ結果式に類似した性質を有する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元 $d$ で位数 $h$ の既約微分代数的多様体と、一般の微分超曲面（位数 $s$）との交わりの次元と位数は何か？
• RQ2 交線理論を用いて、一般の微分多項式における微分次元予想を証明できるか？
• RQ3 代数的チャウ形式を微分代数的幾何へと一般化できるか？また、その際、どのような性質を保持するか？
• RQ4 $n$ 個の変数における $n+1$ 個の微分多項式の系における微分結果式の構造と挙動は何か？
• RQ5 代数的ケースと同様の行列表現またはポアンカーレ型の公式によって、微分結果式を特徴づけられるか？

主な発見

• 次元 $d$ で位数 $h$ の既約微分代数的多様体と、位数 $s$ の一般の微分超曲面の交わりは、次元 $d-1$ で位数 $h+s$ の多様体をもたらし、一般系における微分次元予想が証明された。
• 微分チャウ形式は、$ abla$-同次 $ abla$-多項式であり、多様体を符号化し、代数的チャウ形式と類似した性質（位数および因数分解制約）を満たす。
• 一般化された微分チャウ形式は、$n$ 個の変数における $n+1$ 個の微分多項式の系に対して定義され、微分結果式の厳密な定義を可能にする。
• 微分結果式は、系に共通解が存在する場合に限り消失する $ abla$-多項式であり、代数的ケースと同様の同次度を有する。
• $n=1$, $d_0=d_1=2$, $s_0=0$, $s_1=1$ の場合、微分結果式は206項から構成され、${f u}_0$ に関して位数1、${f u}_1$ に関して位数0であり、${f u}_0$ に関して8次、${f u}_1$ に関して2次である。
• 微分結果式は、係数行列の行列式の因子としての行列表現を有し、マコーレイ結果式と類似する。