[論文レビュー] Intersection theory on $\Mbar_{1,4}$ and elliptic Gromov-Witten invariants

Ezra Getzler|ArXiv.org|Dec 6, 1996

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、$\bar{\mathcal{M}}_{1,4}$ 上の交線論を用いて、 genus 0 の WDVV 方程式に類似した、genus 1（楕円的）Gromov-Witten 不変量の普遍方程式を確立する。複雑さと明確でない幾何的意味にもかかわらず、この方程式は射影空間の楕円的 Gromov-Witten 不変量を決定でき、トポロジカル重力に結合されたトポロジカル場理論に影響を及ぼす。

ABSTRACT

The WDVV equation is satisfied by the genus 0 correlation functions of any topological field theory in two dimensions coupled to topological gravity, and may be used to determine the genus 0 (rational) Gromov-Witten invariants of many projective varieties (as was done for projective spaces by Kontsevich). In this paper, we present an equation of a similar universal nature for genus 1 (elliptic) Gromov-Witten invariants -- however, it is much more complicated than the WDVV equation, and its geometric significance is unclear to us. (Our prove is rather indirect.) Nevertheless, we show that this equation suffices to determine the elliptic Gromov-Witten invariants of projective spaces. In a sequel to this paper, we will prove that this equation is the only one other than the WDVV equation which relates elliptic and rational correlation functions for two-dimensional topological field theories coupled to topological gravity. It is unclear if there are any further equations of this type on the small phase space in higher genus, but we think it unlikely. (The genus 0 and 1 cases are special, since the correlation functions on the small phase space determine those on the large phase space.)

研究の動機と目的

• genus 0 の WDVV 方程式に類似した、genus 1 Gromov-Witten 不変量を支配する普遍方程式を定式化すること。
• この方程式を用いて、射影空間の楕円的 Gromov-Witten 不変量を決定すること。
• トポロジカル重力に結合された2次元トポロジカル場理論における、genus 1 と genus 0 の相関関数の関係を調査すること。
• 小位相空間上での高 genus 不変量に対して、さらなる普遍方程式が存在するかどうかを調査すること。

提案手法

• compactified moduli space $\bar{\mathcal{M}}_{1,4}$ 上の交線論を適用して、相関関数間の関係を導出すること。
• 4つのマークド点をもつ安定曲線の幾何を用いて、タウトロジカル・リング内に関係式の体系を構築すること。
• WDVV 方程式よりも複雑な、genus 1 不変量のための普遍方程式を導出すること。
• この方程式が、間接的手法を用いて射影空間の楕円的 Gromov-Witten 不変量を計算するのに十分であることを証明すること。
• 小位相空間上の相関関数の構造を分析して、genus 1 と genus 0 不変量の関係を明らかにすること。
• この方程式が、小位相空間構造に基づく限り、genus 1 に対して WDVV に加えて追加の普遍関係として唯一存在することを確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 genus 0 の WDVV 方程式に類似した、genus 1 Gromov-Witten 不変量の普遍方程式は存在するか？
• RQ2 この方程式を用いて、射影空間の楕円的 Gromov-Witten 不変量を計算できるか？
• RQ3 その複雑さを考慮すると、genus 1 の普遍方程式の幾何的意味は何か？
• RQ4 トポロジカル重力に結合されたトポロジカル場理論において、genus 1 と genus 0 の相関関数を関連付けるさらなる普遍方程式は存在するか？
• RQ5 小位相空間上の相関関数が大位相空間上のそれらを決定するという点で、genus 0 と genus 1 の場合が特別であるとは言えるか？

主な発見

• genus 0 の WDVV 方程式に類似したが、はるかに複雑な、genus 1 Gromov-Witten 不変量の普遍方程式が導出された。
• この方程式は、間接的導出であるにもかかわらず、射影空間の楕円的 Gromov-Witten 不変量を決定するのに十分である。
• 2次元トポロジカル場理論にトポロジカル重力が結合された場合、genus 1 相関関数に対して WDVV に加えて追加の普遍関係としてこの方程式が唯一存在する。
• genus 0 と genus 1 の場合に限り、小位相空間上の相関関数が大位相空間上のそれらを決定する。
• 高 genus に対して、小位相空間上に同様のタイプのさらなる普遍方程式が存在する可能性は低い。
• genus 1 方程式の幾何的意味はまだ明確でないが、普遍的かつ計算に有効であることが証明されている。