[論文レビュー] Intersections of Q-Divisors on Kontsevich's Moduli Space $\bar{M}_{0,n}(P^r,d)$ and Enumerative Geometry

Rahul Pandharipande|ArXiv.org|Apr 6, 1995

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Kontsevichのモジュライ空間 $\bar{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r,d)$ 上のQ-線分束の上位交線形積を計算する再帰的アルゴリズムを開発し、$\mathbb{P}^r$ 内の有理曲線の特徴的数（特に単純な接線条件を含むもの）の列挙を可能にする。主な貢献は、次数 $d$ の平面曲線の線形系における1個の尖点を持つ有理曲線の部分多様体の次数の明示的計算である。

ABSTRACT

The theory of Q-Cartier divisors on the space of n-pointed, genus 0, stable maps to projective space is considered. Generators and Picard numbers are computed. A recursive algorithm computing all top intersection products of Q-Divisors is established. As a corollary, an algorithm computing all characteristic numbers of rational curves in P^r is proven (including simple tangency conditions). Computations of these characteristic numbers are carried out in many examples. The degree of the 1-cuspidal rational locus in the linear system of degree d plane curves is explicitly evaluated.

研究の動機と目的

• モジュライ空間 $\bar{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r,d)$ 上のQ-線分束の上位交線形積を系統的に計算する方法を開発すること。
• $\bar{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r,d)$ 上のQ-カーティエ線分束類群の生成子とピカール数を特定すること。
• $\mathbb{P}^r$ 内の有理曲線の特徴的数（特に単純な接線条件を含むもの）を計算する再帰的アルゴリズムを確立すること。
• 次数 $d$ の平面曲線の線形系における1個の尖点を持つ有理曲線の部分多様体の次数を計算すること。

提案手法

• 本稿は、安定写像の幾何学とモジュライ空間 $\bar{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r,d)$ の構造を用いて、Q-線分束を定義・解析する。
• Picard群を計算し、$\bar{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r,d)$ 上のQ-カーティエ線分束類群の生成子を同定する。
• 境界線分束の分解とモジュライ空間上の交線形理論に基づいて、再帰的アルゴリズムを構築する。
• タウトロジカル・リング内の既知の関係を用いて、低次元の場合に還元することで、Q-線分束の上位交線形数を計算する。
• 接触条件が指定された有理曲線の列挙問題に本手法を適用する。
• タウトロジカル関係と仮想基本クラスに関する既知の結果を活用することで、一貫性と計算可能性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\bar{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r,d)$ 上のQ-カーティエ線分束類群の生成子とピカール数は何か？
• RQ2 再帰的アルゴリズムを定式化し、$\bar{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r,d)$ 上のすべてのQ-線分束の上位交線形積を計算できるか？
• RQ3 次数 $d$ の平面曲線の線形系における1個の尖点を持つ有理曲線の部分多様体の次数は何か？
• RQ4 $\mathbb{P}^r$ 内の有理曲線の特徴的数（特に単純な接線条件を含むもの）はどのように計算できるか？
• RQ5 $\bar{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r,d)$ 上の特定のQ-線分束の配置に対する明示的交線形数は何か？

主な発見

• $\bar{M}_{0,n}(\mathbb{P}^r,d)$ 上のQ-カーティエ線分束類群のピカール数が明示的に計算された。
• Q-カーティエ線分束類群の生成子が同定され、交線形計算の基盤が提供された。
• すべてのQ-線分束の上位交線形積を計算する再帰的アルゴリズムが確立された。
• このアルゴリズムにより、$\mathbb{P}^r$ 内の有理曲線の特徴的数（単純な接線条件を含むもの）の計算が可能になった。
• 次数 $d$ の平面曲線の線形系における1個の尖点を持つ有理曲線の部分多様体の次数が、さまざまな $d$ に対して明示的に評価された。
• 多数の具体例において特徴的数の数値計算が行われ、アルゴリズムの有効性が実証された。