[논문 리뷰] Intertwining, Excursion Theory and Krein Theory of Strings for Non-self-adjoint Markov Semigroups

Pierre Patie, Mladen Savov외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 27.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 29인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 산문 이론과 크레인의 스트링 이론을 사용하여 비자기적 마르코프 세미군 간의 확률적 및 스펙트럼적 연결을 수립한다. 상호연결성은 경계점에서 공통의 정규화된 국소시간을 갖는다는 것을 보이며, 크레인의 스펙트럼 이론을 확장하여 스펙트럼 측도가 역 국소시간의 스텔리티스 측도에 대해 절대연속임을 증명한다. 이는 양의 자기유사성과 반사된 일반화된 라거르 세미군에서 검증되었으며, 스펙트럼 갭 추정이 수반된다.

ABSTRACT

In this paper, we start by showing that the intertwining relationship between two minimal Markov semigroups acting on Hilbert spaces implies that any recurrent extensions, in the sense of Itô, of these semigroups satisfy the same intertwining identity. Under mild additional assumptions on the intertwining operator, we prove that the converse also holds. This connection, which relies on the representation of excursion quantities as developed by Fitzsimmons and Getoor, enables us to give an interesting probabilistic interpretation of intertwining relationships between Markov semigroups via excursion theory: two such recurrent extensions that intertwine share, under an appropriate normalization, the same local time at the boundary point. Moreover, in the case when one of the (non-self-adjoint) semigroup intertwines with the one of a quasi-diffusion, we obtain an extension of Krein's theory of strings byshowing that its densely defined spectral measure is absolutely continuous with respect to the measure appearing in the Stieltjes representation of the Laplace exponent of the inverse local time. Finally, we illustrate our results with the class of positive self-similar Markov semigroups and also the reflected generalized Laguerre semigroups. For the latter, we obtain their spectral decomposition and provide, under some conditions, a perturbed spectral gap estimate for its convergence to equilibrium.

연구 동기 및 목표

• 산문 이론을 사용하여 마르코프 세미군 간의 상호연결성 관계에 대한 확률적 해석을 수립하기 위해.
• 스펙트럼 측도를 역 국소시간의 스텔리티스 측도와 연결하여 크레인의 스트링 이론을 비자기적 세미군으로 확장하기 위해.
• 양의 자기유사성과 반사된 일반화된 라거르 세미군에 대해 스펙트럼 분해와 수렴 추정을 제공하기 위해.
• 재귀적 확장 간의 상호연결성이 경계점에서 공통의 정규화된 국소시간을 갖는다는 것을 보여주기 위해.
• 비자기적 세미군의 스펙트럼 측도가 역 국소시간의 스텔리티스 측도에 대해 절대연속임을 증명하기 위해, 이를 준-확산과의 상호연결성 하에서.

제안 방법

• 피츠시먼스와 깁오르의 산문 표현을 사용하여 상호연결성을 경계점에서의 공통 정규화된 국소시간과 연결하기 위해.
• 이토의 재귀적 확장 이론을 적용하여 최소 세미군의 상호연결성과 그 재귀적 대응체 간의 관계를 설정하기 위해.
• 역 국소시간의 라플라스 지수의 스펙트럼 분해 기법과 스텔리티스 표현을 사용하여 스펙트럼 측도를 분석하기 위해.
• 연도자 $\Lambda$ 와 그 수반 연산자 $\Lambda^\dagger$ 를 통해 원래 세미군과 쌍대 세미군 간의 상호연결성 항등식을 수립하기 위해.
• 상호연결성 연산자 $\Lambda$ 의 유계성과 닫힘성을 이용하여 $L^2(\mathfrak{m})$ 에서 수렴 추정을 유도하기 위해.
• 직교다항식 $\mathcal{P}_n$ 과 가중치 $\mathfrak{c}_n(-\theta)$ 를 통한 $P_t$ 와 $Q_t$ 의 스펙트럼 전개를 적용하여 수렴 한계를 도출하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 최소 마르코프 세미군 간의 상호연결성이 그들의 재귀적 확장에서 공통의 확률적 구조를 유도하는가?
• RQ2 경계점에서의 국소시간은 재귀적 확장 간의 상호연결성을 정규화된 산문 양으로 해석하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ3 비자기적 세미군의 스펙트럼 측도가 역 국소시간의 스텔리티스 측도에 대해 절대연속이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ4 산문 이론과 상호연결성을 통해 크레인의 스트링 이론을 비자기적 마르코프 세미군으로 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ5 상호연결성 하에서 양의 자기유사성과 반사된 일반화된 라거르 세미군에 대해 어떤 스펙트럼 분해와 수렴 속도 추정을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 최소 마르코프 세미군 간의 상호연결성은 그들의 재귀적 확장이 경계점에서 동일한 정규화된 국소시간을 공유함을 의미한다.
• 준-확산과 상호연결된 비자기적 세미군의 스펙트럼 측도는 역 국소시간의 스텔리티스 측도에 대해 절대연속이다.
• 반사된 일반화된 라거르 세미군의 경우, 직교다항식과 관련된 가중치를 사용하여 스펙트럼 분해를 얻는다.
• 일부 조건 하에서 평형 상태 수렴에 대한 변형된 스펙트럼 갭 추정이 유도되며, 이는 $C_t \|\Lambda_\phi g_m - f\|_{\mathfrak{m}}^2$ 로 유계진다.
• $P_t f$ 의 수렴 속도는 $t > T\mathfrak{b}$ 에 대해 $\frac{\mathfrak{b}+1}{1-\theta}e^{-2t}\|f - \mathfrak{m}f\|_{\mathfrak{m}}^2$ 로 유계진다. 여기서 $T\mathfrak{b} = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{\mathfrak{b}+2}{2-\theta}\right)$ 이다.
• 연산자 $\mathcal{S}$ 는 $\mathcal{S}((c_n)) = \sum_{n=0}^\infty c_n \mathfrak{c}_n^{-1/2}(-\theta) \mathcal{P}_n$ 로 정의되며, 노름 $|||\mathcal{S}|||$ 을 갖는다. 이는 $L^2(\mathfrak{m})$ 에서 수렴 제어를 가능하게 한다.