[論文レビュー] Interval partition evolutions with emigration related to the Aldous diffusion

Noah Forman, Soumik Pal+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2018

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 18被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、アーロウズの予想された木値確率過程にインspiredされた連続的ランダム木の脊索に沿った部分木質量と距離の進化をモデル化する、区間分割上に定義された定常的かつマルコフ過程である拡散過程を構築する。主な貢献は、負の変異率を持つワイアト＝フィッシャー拡散過程の再帰的拡張であり、ゼロが排出境界である問題を、クラムプ＝モード＝ジャージェス過程における移住を導入することで解決し、予想されたアーロウズ拡散の最初の定常的かつマルコフ的射影をもたらす。

ABSTRACT

We construct a stationary Markov process corresponding to the evolution of masses and distances of subtrees along the spine from the root to a branch point in a conjectured stationary, continuum random tree-valued diffusion that was proposed by David Aldous. As a corollary this Markov process induces a recurrent extension, with Dirichlet stationary distribution, of a Wright-Fisher diffusion for which zero is an exit boundary of the coordinate processes. This extends previous work of Pal who argued a Wright-Fisher limit for the three-mass process under the conjectured Aldous diffusion until the disappearance of the branch point. In particular, the construction here yields the first stationary, Markovian projection of the conjectured diffusion. Our construction follows from that of a pair of interval partition-valued diffusions that were previously introduced by the current authors as continuum analogues of down-up chains on ordered Chinese restaurants with parameters (1/2,1/2) and (1/2,0). These two diffusions are given by an underlying Crump-Mode-Jagers branching process, respectively with or without immigration. In particular, we adapt the previous construction to build a continuum analogue of a down-up ordered Chinese restaurant process with the unusual parameters (1/2,-1/2), for which the underlying branching process has emigration.

研究の動機と目的

• 連続的ランダム木上の予想されたアーロウズ拡散の定常的かつマルコフ的射影を構築し、脊索に沿った部分木質量と距離に焦点を当てる。
• 負の変異率を持つワイアト＝フィッシャー拡散（ゼロが排出境界）の問題を、分岐点の消失後に続く仕組みを導入することで解決する。
• 以前の離散的アーロウズ鎖の研究を拡張し、パラメータ (1/2, -1/2) の連続的アナロジーとしてのダウンアップ中国式レストラン過程を、下位の分岐過程における移住をモデル化する。
• ディリクレ定常分布を持つタイプ2の区間分割値拡散の厳密な構成を確立する。
• 構築された過程のサンプルパスの正則性とモーメントバウンドを証明し、サンプルパスがほとんど確実に連続的かつホルダー連続的であることを保証する。

提案手法

• 著者たちは、パラメータ (1/2, -1/2) のダウンアップ中国式レストラン過程の連続的アナロジーを構築し、移住を伴うクラムプ＝モード＝ジャージェス分岐過程をモデル化する。
• 区間分割の空間上で、タイプ2の区間分割値拡散過程を定義する。ここでブロックは部分木質量を表し、その位置は根からの距離を符号化する。
• ポアソン点過程と時間変更されたレヴィ過程に基づく確率的構成を用い、ディリクレ定常分布を保証する。
• カップリングの議論と擬似定常性を用いて、時間シフトおよび初期質量スケーリング下での過程の振る舞いを制御する。
• サンプルパス正則性の証明は、コルモゴロフ＝チェントソフの定理に依拠し、モーメントバウンドはスケーリングと先行研究からのモーメント推定に基づく。
• 重要な技術的ステップとして、ブロック長と一致距離を用いて区間分割間の距離 $ d_{\text{I}} $ をバウンドし、ホルダー連続性の推定に繋げる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 予想されたアーロウズ拡散の定常的かつマルコフ的射影は、分岐点の消失後にさえも定義されたままであるか？
• RQ2 負の変異率を持つワイアト＝フィッシャー拡散は、ゼロが排出境界であるにもかかわらず、吸収状態ゼロを超えて拡張可能か？
• RQ3 クラムプ＝モード＝ジャージェス分岐過程における移住の役割は、連続的極限における部分木質量の一貫した連続的進化を可能にするか？
• RQ4 パラメータ (1/2, -1/2) の中国式レストラン過程の連続的アナロジーは存在するか？ そしてアーロウズ拡散とはどのように関係するか？
• RQ5 このような構築された区間分割拡散のサンプルパスはどのような正則性特性（例：ホルダー連続性）を有するか？

主な発見

• 構築された過程は、ディリクレ定常分布を有する区間分割上での定常的かつマルコフ的過程であり、予想されたアーロウズ拡散の最初のそのような射影を提供する。
• この過程は、変異パラメータ $(-1/2, -1/2, 1/2)$ のワイアト＝フィッシャー拡散の再帰的拡張を誘導し、ゼロでの吸収問題を克服する。
• 区間分割過程のサンプルパスは、任意の $ \theta < 1/4 $ に対してほとんど確実にホルダー連続的であり、ホルダー半ノルムの $ L^p $-モーメントが有限である。
• この過程は、移住を伴うクラムプ＝モード＝ジャージェス分岐過程を用いて構築され、負の移民を伴う中国式レストラン過程の連続的アナロジーをモデル化する。
• 構成により、全質量過程 $ Z(y) = \|\beta^y\| $ が適切に振る舞い、区間分割間の距離 $ d_{\mathcal{I}} $ がモーメントバウンドを満たし、パス正則性が保証される。
• 任意の初期質量 $ x > 0 $ に対して、サンプルパスのホルダー連続性はほとんど確実に成り立ち、コンパクト時間区間上で一様なバウンドが得られる。