[論文レビュー] Intrinsic and Apparent Singularities in Flat Differential Systems

Yirmeyahu J. Kaminski, Jean Lévine+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2017

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、無限次元のジャンスプーリング空間とLie-Bäcklund同型を用いて、微分的に平坦な系における内在的特異点と顕在的特異点を分類する幾何的枠組みを導入する。内在的特異点が、変分系行列 $ P(F) $ の超特異点によって定義される計算可能な集合を含むことを証明し、内在的特異点を回避して顕在的特異点を通過することで、グローバルな運動計画が可能となる。非ホロノミックな車両モデルを用いて実証された。

ABSTRACT

In this paper, we study the singularities of locally flat systems, motivated by the solution, if it exists, of the global motion planning problem for such systems, in the spirit of \cite{CE_14}. More precisely, flat outputs may be only locally defined because of the existence of points where they are singular (a notion that will be made clear later), thus preventing from planning trajectories crossing these points. Such points are of different types. Some of them can be easily ruled out by considering another non singular flat output, defined on an open set intersecting the domain of the former one and well defined at the point in question. However, it might happen that no well-defined flat outputs exist at all at some points. We call these points \emph{intrinsic} singularities and the other ones \emph{apparent}. A rigorous defintion of these points is introduced in terms of atlas and charts in the framework of the differential geometry of jets of infinite order and Lie-Bäcklund isomorphisms (see \cite{FLMR_99,Levine-09}). We then give a criterion allowing to effectively compute intrinsic singularities. Finally, we show how our results apply to global motion planning of the well-known example of non holonomic car.

研究の動機と目的

• 微分的に平坦な系におけるグローバルな運動計画の課題に取り組むこと、特に平坦出力が全空間で定義されない場合を想定する。
• 無限次元ジャンスプーリングの微分幾何学とLie-Bäcklund同型を用いて、内在的特異点と顕在的特異点を形式的に定義し、区別すること。
• 変分系行列 $ P(F) $ の超特異性を用いて、内在的特異点の部分集合を計算可能に同定する基準を開発すること。
• 非ホロノミックな車両モデルにおける複数の特異点を伴うグローバルな軌道計画を通じて、本枠組みの適用可能性を実証すること。
• Lie-Bäcklundアトラスを用いて、内在的特異点を回避し、顕在的特異点を安全に通過する運動計画を実現すること。

提案手法

• 平坦出力とその逆関数が非退化となる局所的チャートを用いてLie-Bäcklundアトラスを構築し、異なる平坦出力表現間の座標変換を可能にする。
• アトラスのいかなるチャートにも含まれない点を内在的特異点と定義し、複数のチャートの共通部分に属するが、ある平坦出力の定義域に属さない点を顕在的特異点と定義する。
• 陰関数形 $ F(x,\dot{x}) = 0 $ の変分系を用いて行列 $ P(F) $ を計算し、システムのダイナミクスの線形化を捉える。
• 行列 $ P(F) $ が超特異（最大のランク欠損を示す）となる点の集合を計算可能に特定し、これが内在的特異点集合に含まれることを証明する。
• アトラスと特異点分類を応用して、非ホロノミックな車両のグローバルな軌道を設計し、ルートの各セグメントで異なる平坦出力（$ y_1, y_2, y_3 $）を切り替えることで特異点を回避する。
• ルートを弧長でパラメータ化し、その後時間を用いてパラメータ化することで、滑らかな制御入力を確保し、速度や向きが定義されない点を避ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分的に平坦な系における内在的特異点と顕在的特異点は、無限次元ジャンスプーリングの微分幾何学を用いてどのように厳密に定義できるか？
• RQ2 変分系行列 $ P(F) $ を用いて、内在的特異点の計算可能な部分集合を同定できるか？
• RQ3 顕在的特異点を通過しながら内在的特異点を回避することで、どの程度グローバルな運動計画が達成可能か？
• RQ4 $ P(F) $ の超特異性は、平坦系における内在的特異点集合を完全に特徴づけるか？
• RQ5 Lie-Bäcklundアトラスはどのように構築され、複数の平坦出力表現間でのグローバルな軌道計画を可能にするか？

主な発見

• 内在的特異点の集合には、変分系行列 $ P(F) $ が超特異となる点が含まれており、これは内在的特異点の部分集合を計算可能に同定する基準を提供する。
• 非ホロノミックな車両モデルでは、内在的特異点集合は原点および $ \dot{x} = \dot{y} = 0 $ となる平衡点を含み、これらは有界な制御では到達不可能である。
• アトラス構築は完全である：追加のチャートを追加しても、内在的特異点集合は減少しない。これは直接計算による $ \mathcal{S}_F = \{ \dot{x} = \dot{y} = 0 \} $ の確認によって裏付けられている。
• 車両の軌道は、複数のチャートを経由して異なる平坦出力（$ y_1, y_2, y_3 $）を切り替えながら、特異点を回避し、漸近的にそれらに近づいた。
• セグメント $ AC $ では平坦出力 $ y_2 $、セグメント $ CE $ では $ y_1 $、セグメント $ GK $ でも再び $ y_1 $ を使用し、$ \dot{y} = 0 $ となる点で最小値を示した。これにより、アトラスに基づく手法の堅牢性が確認された。
• 本手法により、内在的特異点の補集合において、グローバルな軌道計画が可能となり、アトラスがすべてのシステム状態において一貫した枠組みを提供することが保証された。