[論文レビュー] Intrinsic Dynamics of Symplectic Manifolds: Membrane Representation and Phase Product

Mikhail Karasev|ArXiv.org|Aug 13, 2003

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、関数 bundle 内の接続に類似た対象たるエーテルハミルトニアンを用いて、シンプレクティック多様体に対する内挿的力学的枠組みを導入する。この枠組みにより、膜表現としての関数の表現、ストークスの定理を用いた非可換位相積の定義がなされ、ねじれ接続へと理論が一般化され、幾何的量子化、シンプレクティック群ガロア、ラグランジュ部分多様体の拡張が位相関数形式によって統一される。

ABSTRACT

On general symplectic manifolds we describe a correspondence between symplectic transformations and their phase functions. On the quantum level, this is a correspondence between unitary operators and phase functions of the WKB-approximation. We represent generic functions via symplectic area of membranes and consider related geometric properties of the noncommutative phase product. An interpretation of the phase product in terms of symplectic groupoids and the groupoid extension of Lagrangian submanifolds are described. The membrane representations of corresponding Lagrangian phase functions are obtained. This paper uses the intrinsic dynamic approach based on the notion of Ether Hamiltonian which is a generalization of the notion of symplectic connection. We demonstrate that this approach works for torsion case as well.

研究の動機と目的

• 一般のシンプレクティック多様体上でシンプレクティック変換と位相関数の対応を確立すること。
• 一般の関数をエーテル測地線で囲まれた膜のシンプレクティック面積として表現すること。
• 膜の合成とストークスの定理を用いて非可換位相積を定義すること。
• ねじれ接続へと形式を一般化し、ねじれなしの場合を越えた結果を一般化すること。
• シンプレクティック群ガロアと群ガロア乗法を用いて、位相積とラグランジュ部分多様体の拡張を解釈すること。

提案手法

• 関数値をとる1次形式としてのエーテルハミルトニアンを導入し、曲率がゼロで境界条件を満たすようにする。
• 零曲率方程式 $\partial\mathcal{H} + \frac{1}{2}\{\mathcal{H}, \mathcal{H}\} = 0$ を用いて関数 bundle 上の力学を定義する。
• シンプレクティック変換 $s_x$ を動力学方程式 $\partial s_x = \text{Ham}(\mathcal{H}_x)$ の解として定義し、$s_x(x) = x$ かつ $s_x^2 = \text{id}$ を満たす。
• エーテル測地線で囲まれた膜としての関数の膜表現を構成し、ねじれの場合には中点を中心点に置き換える。
• ストークスの定理を適用して、合成された膜の面積を非可換位相積に関連付ける。
• 歪対称性と反転条件を緩和することで、ねじれ接続へと枠組みを一般化し、重要な幾何的性質を保持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のシンプレクティック多様体上でのシンプレクティック変換を位相関数に関連付ける方法は何か？
• RQ2 膜の合成としての非可換位相積の幾何的意味は何か？
• RQ3 エーテルハミルトニアン枠組みからシンプレクティック群ガロアとラグランジュ部分多様体の拡張はどのようにして生じるか？
• RQ4 ねじれを持つシンプレクティック接続へと理論がどのように一般化されるか？
• RQ5 関数はエーテル測地線から構成された膜のシンプレクティック面積として表現可能か？

主な発見

• エーテルハミルトニアンは、$x$ を固定する対合であり、$\Gamma(z) = -\frac{1}{2}D^2s_x(z)|_{x=z}$ を満たすシンプレクティック変換 $s_x$ の族を生成する。
• 定数関数に近い任意の関数は、エーテル測地線で囲まれた膜のシンプレクティック面積として表され、位相関数は $D\Phi^\gamma(x) = \mathcal{H}_x(\gamma(\tilde{x}))$ により定義される。
• シンプレクティック変換の合成は膜の合成に対応し、全面積はストークスの定理を用いて非可換位相積を導く。
• 関数上の位相積演算は、ラグランジュ部分多様体上の群ガロア乗法に対応し、ポisson双ファイブレーションの構造を保存する。
• ねじれの場合でも枠組みは有効である：内部測地線がエーテル測地線に置き換わり、膜の面積やハミルトン・ジャコビ方程式などのすべての主要公式が同じ形で一般化される。
• 接続 $\Gamma$ はねじれがあってもシンプレクティックのままであるが、もはやねじれなしではなく、境界条件にはねじれテンソル $T$ が関与する。