[論文レビュー] Introduction to graded bundles

Andrew James Bruce, Katarzyna Grabowska+1 more|arXiv (Cornell University)|May 11, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、実数の乗法的モノイドによるホモジネイティ構造を用いて重み付き幾何を定義することで、ベクトル束の自然な一般化として階数付き束を導入する。本稿は、次数kの階数付き束から対称的k重ベクトル束への標準的線形化関手を確立し、ホモジネイティ構造とLie理論的対象の整合性を要請することによって、重み付きLie群ガロアおよび代数群の理論を発展させる。主な貢献は、次数kの階数付き束と対称的k重ベクトル束の間のカテゴリカル同値性を、全線形化により確立することである。

ABSTRACT

We review the concept of a graded bundle as a natural generalisation of a vector bundle. Such geometries are particularly nice examples of more general graded manifolds. With hindsight there are many examples of graded bundles that appear in the existing literature. We start with a discussion of graded spaces, passing through graded bundles and their linearisation to end with weighted (graded) Lie groupoids/algebroids.

研究の動機と目的

• ホモジネイティ構造を用いて階数付き束をベクトル束の一般化として形式化すること。
• 階数付き束から対称的k重ベクトル束への標準的線形化関手を構築すること。
• ホモジネイティ構造と整合するように装備されたLie理論的対象として、重み付きLie群ガロアおよび代数群を定義・特徴づけること。
• 次数kの階数付き束の圏と対称的k重ベクトル束の圏の間のカテゴリカル同値性を確立すること。
• 微分幾何学および数理物理学における高次幾何構造のための枠組みを提供すること。

提案手法

• 全空間への乗法的モノイド(R, ·)の滑らかな作用を用いて階数付き束を定義し、重みによるホモジネイティを符号化する。
• ホモジネイティ構造の概念を用いて、非線形的かつ高重量な設定へとベクトル束の性質を一般化する。
• 次数kの階数付き束からk重ベクトル束への線形化関手L[k]を構成し、構造の置換に関して対称性を保つ。
• 線形化プロセスを繰り返し適用することで全線形化を得られ、対称的k重ベクトル束が得られる。
• ホモジネイティ構造が射として作用するように、Lie群ガロア／代数群に重み付き構造を装備した重み付きLie群ガロアおよび代数群を定義する。
• 単連結な源ファイバーをもつ可積分な重み付きLie代数群の圏と、次数kの重み付きLie群ガロアの間の1対1対応を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして重みに基づく階数付けを用いて、ベクトル束を高次非線形構造へ一般化できるか？
• RQ2 次数kの階数付き束に対する標準的線形化手順は何か？ そして、k重ベクトル束とどのように関係するか？
• RQ3 どのようにしてLie群ガロアおよびLie代数群の構造にホモジネイティ構造を整合的に装備し、重み付き幾何的対象を形成できるか？
• RQ4 次数kの階数付き束の圏と対称的k重ベクトル束の圏との間のカテゴリカル関係は何か？
• RQ5 重み付きLie代数群がいつ重み付きLie群ガロアに統合可能か？

主な発見

• 全線形化関手L[k]は、次数kの階数付き束の圏と対称的k重ベクトル束のフル部分圏との間で、標準的同値を確立する。
• Lie群ガロアGのk階接束Ak(G)の線形化は、Lie代数A(G)のアンカーと射影を含む、ネストされたファイバー積条件によって与えられる。
• Lie群ガロアGに対して、k階接束TkGは自然に次数kの重み付きLie群ガロア構造を引き継ぐ。
• TkMの線形化は反復接束T(k)Mと同型であり、対称群Skは反復接束構造の標準的交換作用を介して作用する。
• 単連結な源ファイバーをもつ可積分な重み付きLie代数群の圏と、次数kの重み付きLie群ガロアの圏との間に1対1対応が存在する。
• Ak(G)の完全な線形化は、アンカーと射影を含む、鎖状の整合性条件を満たすk重の接束上りの組として特徴づけられる。