[論文レビュー] Introduction to Nonextensive Statistical Mechanics and Thermodynamics

Constantino Tsallis, Fulvio Baldovin+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2003

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 5被引用数 32

ひとこと要約

本稿は、エントロピー $S_q$ を用いた非拡張統計力学を導入し、定常性を満たさない系、長距離相関、自己組織的多スケール性、記憶効果を示す系へボルツマン＝ギブズ（BG）統計力学を拡張する。この枠組みは、$q$-指数関数および $q$-対数関数を用いて非拡張熱力学を記述し、$q$ は微視的ダイナミクスから決定される。この理論は、エントロピー生成や、カオスの端にある系における一般化されたペジン恒等式を正しく再現する。

ABSTRACT

In this lecture we briefly review the definition, consequences and applications of an entropy, $S_q$, which generalizes the usual Boltzmann-Gibbs entropy $S_{BG}$ ($S_1=S_{BG}$), basis of the usual statistical mechanics, well known to be applicable whenever ergodicity is satisfied at the microscopic dynamical level. Such entropy $S_q$ is based on the notion of $q$-exponential and presents properties not shared by other available alternative generalizations of $S_{BG}$. The thermodynamics proposed in this way is generically {\it nonextensive} in a sense that will be qualified. The present framework seems to describe quite well a vast class of natural and artificial systems which are not ergodic nor close to it. The a priori calculation of $q$ is necessary to complete the theory and we present some models where this has already been achieved.

研究の動機と目的

• エントロピーの拡張を、長距離力、準安定状態、記憶効果を示す系など、定常性を満たさない系に適用する。
• $q$-一般化エントロピー $S_q$ を用いた熱力学的枠組みを確立し、$q=1$ のとき $S_{BG}$ に還元されることを保証する。
• $S_q$ が、他の一般化エントロピー（例：Rényiのエントロピー）とは異なり、エントロピー生成の有限性、凹性、安定性といった重要な性質を保つことを示す。
• $q$-パラメータが、初期条件への感度や多スケール解析といった複数の独立した方法により、微視的ダイナミクスから導出可能であることを示す。
• 低次元ダイナミカルシステム、特にカオスの端における一般化ペジン恒等式 $K_q = \lambda_q$ の妥当性を検証する。

提案手法

• 一般化エントロピー $S_q = \frac{1}{1-q} \left(1 - \sum_i p_i^q \right)$ を提案し、$S_1 = S_{BG}$ と定義。$q$-指数関数を用いて非拡張系の記述を可能にする。
• $q$-対数関数および $q$-指数関数を、熱力学的関係およびダイナミクスの一般化の中心的ツールとして導入する。
• 初期条件への感度、多スケールスケーリング、エントロピー生成率、位相空間内での測度収縮の4つの独立した方法を用いて、$q$-パラメータを微視的ダイナミクスから導出する。
• ロジスティック写像のカオスの端における応用を通じて、$q \approx 0.2445$ のとき、動的量の $q$-対数プロットが線形的になることを示す。
• 一般化ペジン恒等式 $K_q^{(k)} = \lambda_q^{(k)}$ を数値的に検証し、$K_q$ を $q$-エントロピー生成率、$\lambda_q$ を $q$-リャプノフ指数とする。
• メタ平衡状態または定常状態に一般化した場合、$S_q$ が0次から4次までの古典的熱力学的原則をすべて満たすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化エントロピー $S_q$ は、定常性を満たさない系や非拡張的挙動を示す系を記述できるか？
• RQ2 $q$-パラメータは、現象論的仮定ではなく、微視的ダイナミクスから導出可能か？
• RQ3 弱いカオスまたは多スケール的ダイナミクスを示す系において、一般化ペジン恒等式 $K_q = \lambda_q$ が成り立つか？
• RQ4 $S_q$ は、Rényiのエントロピーとは異なり、安定性、凹性、単位時間あたりの有限エントロピー生成を保つことができるか？
• RQ5 $q$-指数分布は、非拡張系におけるBG指数分布の自然な一般化とみなせるか？

主な発見

• ロジスティック写像のカオスの端における $q$-パラメータは $q \approx 0.2445$ であり、初期条件への感度、多スケール解析、エントロピー生成、測度収縮の4つの方法から一貫して導出された。
• 数値シミュレーションにより、一般化ペジン恒等式 $K_q^{(k)} = \lambda_q^{(k)}$ が $q$-対数プロットを通じて確認され、全反復ステップで $45^\circ$ の直線が得られた。
• $q$-対数関数による感度 $\xi$ の増加が $S_q$ に対して線形に進行することから、非拡張領域における $q$-一般化動力学法則が妥当であることが裏付けられた。
• $q$-エントロピー $S_q$ は凹型であり、安定的かつ有限の単位時間あたりのエントロピー生成を示し、Rényiのエントロピーとは異なり特徴が明確に区別される。
• メタ平衡状態または準定常状態に一般化した場合、すべての5つの古典的熱力学的原則（0次から4次）を満たすため、物理的整合性が確認された。
• $q$-指数分布は、BG指数分布を導くのと同じ変分原理および大偏差原理から自然に導かれるため、統計力学の基礎と整合的であることが示された。