[論文レビュー] Introduction to Redberry: a computer algebra system designed for tensor manipulation

Dmitriy A. Bolotin, S. Poslavskii|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2013

Computational Physics and Python Applications参考文献 17被引用数 12

ひとこと要約

この論文では、インデックス式、対称性、ダミーインデックス処理をネイティブにサポートする、記号的テンソル操作に特化したオープンソースのコンピュータ代数システムRedberryを紹介する。グラフ理論的アプローチを採用することで、ベンチマークにおいてxActの41倍、Cadabraの33倍の高速性を達成し、フェルミオンのフェニマン図や1ループ補正項といった高エネルギー物理学における複雑なテンソル式の効率的計算を可能にする。

ABSTRACT

In this paper we introduce Redberry --- an open source computer algebra system with native support of tensorial expressions. It provides basic computer algebra tools (algebraic manipulations, substitutions, basic simplifications etc.) which are aware of specific features of indexed expressions: contractions of indices, permutational symmetries, multiple index types etc. Redberry supports conventional \LaTeX-style input notation for tensorial expressions. The high energy physics package includes tools for Feynman diagrams calculation: Dirac and SU(N) algebra, Levi-Civita simplifications and tools for one-loop calculations in quantum field theory. In the paper we give detailed overview of Redberry features: from basic manipulations with tensors to real Feynman diagrams calculation, accompanied by many examples. Redberry is written in Java 7 and provides convenient Groovy-based user interface inside the high-level general purpose programming language environment. Redberry is available from http://redberry.cc

研究の動機と目的

• 複雑なインデックス構造を有するテンソル式を効率的に処理できない一般用途のCASの限界を解消すること。
• 理論的および高エネルギー物理学における記号的テンソル計算に特化した、高性能で拡張可能なシステムを提供すること。
• インデックスの対称性、ダミーインデックス処理、テンソルの縮約といったテンソル固有の演算を統合的かつ使いやすい環境に統合すること。
• 最適化された内部アルゴリズムを通じて、フェルミオンのフェニマン図や1ループ補正項を含む複雑な物理的問題のスケーラブルな計算を可能にすること。
• 一般プログラミングとドメイン特化テンソル代数を組み合わせられる、高水準プログラミング言語（Groovy）におけるシームレスなインターフェースを提供すること。

提案手法

• Redberryは、インデックスマッピングにグラフに基づく手法を用いた式ツリーとしてテンソル式を表現し、インデックスの縮約や対称性の効率的検出を可能にする。
• インデックスの置換に対して一貫した表現を保証するため、グラフ同型性に基づく正規化手順を採用してテンソル式を比較する。
• ユーザーがLaTeX風の構文でテンソル式を記述し、高水準コマンドで変換を適用できる、Groovyベースのドメイン特化インターフェースを採用する。
• リーヴィ・チビタの縮約、ディラック行列やSU(N)のトレース評価、対称性を考慮した項の簡約といった、テンソル簡約のための特別な変換を実装する。
• 中間式の早期簡約と、パターンベースの書き換えを用いた式ツリーの効率的走査により、パフォーマンスを最適化する。
• コアはJava 7で実装されており、Apache Commons MathやTrove4jなどの外部ライブラリを活用し、代数的操作のためにJava代数システムと統合している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 インデックスの対称性やダミーインデックスの縮約を含む、複雑な構造のインデックス付きテンソル式を、コンピュータ代数システムがどのように効率的に管理できるか。
• RQ2 従来のリストベースのCASと比較して、テンソル操作にグラフ理論的アプローチを用いることで、どのようなパフォーマンス上の利点が得られるか。
• RQ3 高水準プログラミングインターフェース（Groovy）を低水準のテンソル代数と効果的に統合することで、複雑な物理的計算をどの程度サポートできるか。
• RQ4 実世界の高エネルギー物理学のベンチマークにおいて、Redberryのテンソル式簡約パフォーマンスは、xAct、Cadabra、Maple Physicsといった既存システムと比べてどの程度優れているか。
• RQ5 複数のインデックス型、置換対称性、自動的なダミーインデックス衝突解決のネイティブサポートが、記号的テンソル計算において実用的にどのような利点をもたらすか。

主な発見

• インデックスの対称性がないベンチマークでは、RedberryはxActに比べ最大41倍、Cadabraに比べ最大29倍の高速性を達成した。
• インデックスの対称性がある場合、RedberryはxActに比べ26倍、Cadabraに比べ33倍の高速性を示し、構造的テンソル問題において一貫した優位性を示した。
• グラフベースのインデックス正規化により、複雑なインデックス置換に対しても正しくかつ効率的にテンソル式を比較できる。
• Redberryは、ディラック行列、SU(N)群、リーヴィ・チビタテンソルを含む複雑なテンソル式を正しく簡約でき、これはMaple Physicsが処理できなかった。
• Groovyとの統合により、一般プログラミングとテンソル代数を組み合わせた生産的な開発環境が実現され、複雑な計算の自動化が可能になった。
• ベンチマーク結果から、式が大きくなるほど性能向上が顕著に現れ、中間式の積極的な簡約のおかげで、Redberryは代替手法に比べ数千倍の高速化を達成する場合もあった。