[論文レビュー] Invariance principle for additive functionals of Markov chains

Yuri N. Kartashov, Alexei Kulik|ArXiv.org|Apr 4, 2007

advanced mathematical theories参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、マルコフ連鎖の加法的関数への不変性原理を確立する。具体的には、元の連鎖が拡散過程に弱収束するならば、関数の特性が収束する限り、それらの加法的関数の弱収束が成立することを示す。主な貢献は、マルコフ近似条件の下で、同一でないマルコフ連鎖に対するダイニキンの定理の完全な類似形を確立したことである。これにより、分布の極限の研究が関数の特性のモーメント解析に還元可能となる。

ABSTRACT

We consider a sequence of additive functionals {ϕ_n}, set on a sequence of Markov chains {X_n} that weakly converges to a Markov process X. We give sufficient condition for such a sequence to converge in distribution, formulated in terms of the characteristics of the additive functionals, and related to the Dynkin's theorem on the convergence of W-functionals. As an application of the main theorem, the general sufficient condition for convergence of additive functionals in terms of transition probabilities of the chains X_n is proved.

研究の動機と目的

• 加法的関数の分布が、極限の拡散過程の関数に弱収束するための十分条件を確立すること。
• 同一過程に対するダイニキンのW関数への定理を、同一でないマルコフ連鎖の系列へと拡張すること。
• 連鎖の遷移確率に基づいて、加法的関数の弱収束に対する一般基準を提供すること。
• マルコフ近似枠組みの下で、加法的関数の極限挙動が、その期待値の分析に還元可能であることを示すこと。

提案手法

• マルコフ近似の概念を導入し、系列 $X_n$ が極限過程 $X$ の一貫した確率的構造を提供することを保証する。
• 共通の確率空間上に二成分過程を構成し、$\phi_n(X_n)$ と $\phi(X)$ を比較することで、関数の距離に対する $L_2$-推定が可能となる。
• ダイニキン（1965）の補題6.5に類似した $L_2$-推定を用い、関数の特性を介して関数の差を制御する。
• 加法的関数 $\phi_n$ の特性（例：期待値）の収束を用いて、収束条件を定式化する。
• 主定理を応用し、連鎖の遷移確率に基づいて、加法的関数の弱収束の一般十分条件を導出する。
• モーメントバウンド、コルモゴロフ型連続性基準、および測度の弱収束（例：集合上の表面測度）を用いて条件を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マルコフ連鎖 $X_n$ の加法的関数 $\phi_n$ の分布が、極限の拡散過程 $X$ の $W$-関数 $\phi$ に弱収束するための条件は何か？
• RQ2 連鎖 $X_n$ が同一でない場合に、$\phi_n$ の特性（例：期待値）の収束が、$\phi_n$ の分布の弱収束を示唆するか？
• RQ3 関数の収束が、連鎖のパスワイズ収束を反映するようにするための、系列 $\{X_n\}$ に必要な十分かつ必要となる構造的仮定は何か？
• RQ4 加法的関数の収束を、連鎖 $X_n$ の遷移核に基づいて直接的に特徴づける方法は何か？
• RQ5 局所時間関数の極限挙動を保証するための、モーメントおよび幾何的条件は何か？特に、フラクタル的または滑らかな集合上の局所時間関数に対して。

主な発見

• 主定理により、マルコフ近似条件の下で、加法的関数 $\phi_n$ の特性が $W$-関数 $\phi$ の特性に弱収束するならば、$\phi_n$ の分布も $\phi$ に弱収束することが保証される。
• 元の連鎖 $X_n$ がマルコフ近似条件を満たし、関数の特性が収束する場合、$\phi_n$ の有限次元分布の収束が保証される。
• 次元 $d \geq 2$ のランダムウォークに対して、$\mathbb{E}\|\xi_k\|^{\alpha} < \infty$ を満たすある $\alpha > 2\theta + 2$ のもとで、正規化された局所時間関数 $\phi_n$ がブラウン運動の局所時間に弱収束することが示された。
• $ (X_n, \psi_n(X_n)) \Rightarrow (X, \phi(X)) $ は、$ \lambda^d(K_\varepsilon) \geq \text{const} \cdot \varepsilon^\beta $ かつ $ \beta < 2 $ の条件下で、$ C(\mathbb{R}^+, \mathbb{R}^d) \times C(\mathbb{T}, \mathbb{R}^+) $ 内で成立し、これにより適切に定義された表面測度 $\lambda_K$ の存在が保証される。
• 結果は格子型および非格子型ランダムウォークの両方へ拡張可能であり、増分の均一なモーメント条件の下で収束が成立する。
• 「カットティング」手続きを用いることで、モーメント条件を除去可能であり、収束結果のロバスト性が示された。