[論文レビュー] Invariance property of Morse homology on noncompact manifolds

Jungsoo Kang|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、非コンパクト多様体上のモーレス関数のホモトピーに対して、ホモロジー類の消失を防ぐために十分な成長条件を確立した。これは、モーレスホモロジーにおける主要な不変性の失敗を解決するものである。双曲的分岐法を応用し、ホモロジー類が緩やかな成長制限のもとで安定することを証明することで、無限次元的チェーン複体を持つラビノヴィッツフローホモロジーにおける不変性の証明の基盤を提供する。

ABSTRACT

In this article, we focus on the invariance property of Morse homology on noncompact manifolds. We expect to apply outcomes of this article to several types of Floer homology, thus we define Morse homology purely axiomatically and algebraically. The Morse homology on noncompact manifolds generally depends on the choice of Morse functions; it is easy to see that critical points may escape along homotopies of Morse functions on noncompact manifolds. Even worse, homology classes also can escape along homotopies even though critical points are alive. The aim of the article is two fold. First, we give an example which breaks the invariance property by the escape of homology classes and find appropriate growth conditions on homotopies which prevent such an escape. This takes advantage of the bifurcation method. Another goal is to apply the first results to the invariance problem of Rabinowitz Floer homology. The bifurcation method for Rabinowitz Floer homology, however, is not worked out yet. Thus believing that the bifurcation method is applicable to Rabinowitz Floer homology, we study the invariance problems of Rabinowitz Floer homology.

研究の動機と目的

• 非コンパクト多様体上のモーレスホモロジーにおける不変性問題を解決する。ここでは、臨界点が存続してもホモロジー類が消失する可能性がある。
• ホモロジー類の消失を防ぐために、ホモトピーに特有の成長条件を同定する。これにより、不変性が回復される。
• 無限次元的チェーン複体を有し、標準的続行法に抵抗するラビノヴィッツフローホモロジーにおける不変性問題に、これらの結果を適用する。
• 一般化されたモーレス理論の最近の進展に基づき、分岐法が実行可能であると仮定して、ラビノヴィッツフローホモロジーへの分岐法の適用に向けた基盤を築く。

提案手法

• 幾何的実現とは独立した構造的性質を抽出するため、公理的かつ代数的枠組みでモーレスホモロジーを形式化する。
• 臨界点と勾配フロー線をホモトピー全体にわたって追跡できるグラフ構造を有するセール図フレームワークを導入する。
• 分岐法を適用して、ホモトピーに伴うチェーン複体およびホモロジーの変化を分析する。特に、誕生・消滅やハンドルスライドなどの退化を焦点とする。
• ホモトピーに沿ったモーレス関数の時間微分に成長条件を課すことにより、勾配フロー線の振る舞いを制御し、ホモロジー類の消失を防ぐ。
• シンプレクティゼーションにおけるレジェンドリアンおよびプレラグランジュアンフレームワークを用いて、臨界値軌道をレジェンドリアン曲線としてモデル化し、ホモトピー力学の幾何的解釈を可能にする。
• ハッチングとリーによるフローハンチング系の正則ホモトピーに関する結果を活用し、ラビノヴィッツ設定において分岐法の適用可能性を正当化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホモトピーに適切な成長条件を課した場合、非コンパクト多様体上のモーレスホモロジーの不変性は回復可能か？
• RQ2 非コンパクト多様体上のモーレス関数のホモトピーにおいて、どのような退化（例：誕生・消滅、ハンドルスライド）が発生しうり、それらはホモロジーにどのように影響するか？
• RQ3 無限次元的チェーン複体を持つラビノヴィッツフローホモロジーにおいて、分岐法は適用可能か？
• RQ4 ホモトピーにどのような成長条件を課すれば、モーレスホモロジーにおけるホモロジー類が安定し、無限遠に消失しなくなるか？
• RQ5 分岐法が適用可能であると仮定した場合、ラビノヴィッツフローホモロジーの不変性は、分岐法によって確立可能か？

主な発見

• 臨界点が存在し続けながらも、ホモトピー中にホモロジー類が無限遠に消失する明示的な例を構成した。
• ホモトピーに沿ったモーレス関数の時間微分に緩やかな成長条件を課した場合、ホモロジー類が消失せず、モーレスホモロジーの不変性が保証されることを証明した。
• 定理Bは、制御された成長を満たす正則ホモトピーにより、モーレスホモロジーが同型であることを示している。
• 定理Cは、成長制限のもとで、与えられたホモロジー類がホモトピー全体にわたって検出可能であり、消失しないことを示している。
• これらの結果は、ラビノヴィッツフローホモロジーに応用され、必要な解析的道具が整えば、不変性が分岐法によって証明可能であると示唆している。
• フレームワークにより、臨界値軌道をシンプレクティゼーション内のレジェンドリアン曲線へと持ち上げることができ、ホモトピー力学の幾何的解釈が可能になった。