[論文レビュー] Invariant measure for the Klein-Gordon equation in a non periodic setting

Anne-Sophie de Suzzoni|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2014

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、周期的でない実数直線上の1次元非焦点的立方 Klein-Gordon 方程式に対して、空間的に減衰する非線形項をもつ場合に、ブラウン運動と有限次元近似を用いた極限手続きによりギブス測度を構成する。$ H^{1/2-}_{\textrm{loc}} $ においてほとんど確実な大域的良設定性を確立し、非線形フローのもとでのギブス測度の不変性を証明する。これは、周期的領域における既存の結果を非周期的ケースへ拡張するものである。

ABSTRACT

In this paper, we build a Gibbs measure for the 1d cubic Klein-Gordon equation on $\mathbb R$ with a decreasing non linearity, in the sense that the non linearity $f^3$ is multiplied by $χ$ where $χ$ is a sufficiently integrable non negative function. We prove that this equation is almost surely globally well-posed in $H^{1/2-}_{ extrm{loc}}$ with respect to this measure and that the measure is invariant under the flow of the equation.

研究の動機と目的

• 非周期的領域への非線形分散方程式に対するギブス測度の構成を周期的領域からの拡張すること。
• 離散スペクトルの欠如に起因する、標準的手法が適用できない状況においてギブス測度を定義する課題に取り組むこと。
• 得られた測度が方程式の非線形フローのもとで不変であることを証明し、解集合の統計的定常性を保証すること。
• 初期データがこのギブス測度に従う場合に、臨界正則性空間 $ H^{1/2-}_{\textrm{loc}} $ においてほとんど確実に大域的解が存在することを確立すること。

提案手法

• ブラウン運動の増分を用いた極限手続きにより、非周期的設定における方程式の線形部をモデル化するガウス型確率変数 $ \varphi $ を構成する。
• ギブス測度 $ \rho $ を $ d\rho(u) = \frac{1}{D} e^{-\frac{1}{2}\int \chi |u|^4} d\mu(u) $ として定義する。ここで $ \mu $ は線形フローと関連するガウス測度である。
• 有限次元近似 $ \varphi_{N,M} $ と $ \psi_k $ を用いて非線形フローの正則化版を定義し、$ H^{1/2-}_{\textrm{loc}} $ における収束を保証する。
• ファトウの補題と一様収束評価を用いて、有限次元での不変性から無限次元での不変性 $ \rho $ への移行を行う。
• 大集合 $ A(\Lambda) $ において、フロー $ \psi_k $ が連続的かつ一様に大域的に収束することを確立し、$ \rho(A(\Lambda)^c) \leq C/\Lambda^8 $ が成り立つことを示す。
• 有限次元測度 $ \rho_k $ の不変性、フローの連続性、および近似論法を組み合わせて、全非線形フロー $ \psi(t) $ における $ \rho $ の不変性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周期的でない領域 $ \mathbb{R} $ 上の1次元立方 Klein-Gordon 方程式に対して、空間的に減衰する非線形項をもつ場合に、離散スペクトルの欠如にもかかわらずギブス測度を構成できるか？
• RQ2 非周期的領域における非線形フローのもとで、得られたギブス測度が不変であるか？
• RQ3 初期データが臨界正則性空間 $ H^{1/2-}_{\textrm{loc}} $ においてこのギブス測度に従う場合に、方程式はほとんど確実に大域的解をもつか？
• RQ4 コンパクト性や離散スペクトルに依存する標準的手法が失敗する状況において、測度の不変性をどのように証明できるか？
• RQ5 非コンパクト領域において、方程式のフローがギブス測度の台上で連続的かつ可測であることを示せるか？

主な発見

• ギブス測度 $ \rho $ は $ H^{1/2-}_{\textrm{loc}} $ で適切に定義されており、$ \rho(A) = 1 $ を満たす。ここで $ A $ は大域的解が存在する初期データの集合である。
• 非線形フロー $ \psi(t) $ は $ \rho $ の台上で連続的かつ可測であり、解がほとんど確実に定義可能であることを保証する。
• 測度 $ \rho $ は非線形フローのもとで不変である：すべての可測集合 $ Y $ とすべての $ t \in \mathbb{R} $ に対して $ \rho(\psi(t)^{-1}(Y)) = \rho(Y) $ が成り立つ。
• $ \rho(A(\Lambda)^c) \leq C/\Lambda^8 $ が成り立つことから、近似が高確率で成立することが示される。
• 有限次元近似 $ \psi_k $ は $ A(\Lambda) $ 上で $ \psi $ に一様収束する。これにより、有限次元での不変性を無限次元に移すことが可能になる。
• 構成はブラウン運動を用いた極限手続きに依拠しており、ガウス型確率変数 $ \varphi $ を得て、それを基盤測度 $ \mu $ を生成する。その後、$ \int \chi |u|^4 $ に起因するポテンシャルエネルギーを用いて拡張される。