[論文レビュー] Invariant Nonrecurrent Fatou Components of Automorphisms of $C^2$

Daniel C. Jupiter, Krastio Lilov|ArXiv.org|Sep 16, 2003

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ℂ² 上の正則自己同型写像における不変非再帰的 Fatou 成分を調査し、反復における極限写像の構造に注目する。複数の定数極限写像が存在する場合、それらの像は境界に含まれる非可算的かつ完全な集合を形成し、ヤコビアン固有値スペクトルにおいて特定の非ディオファントス的回転数を満たす必要がある。非定数のランク1極限写像については、それらの像は、自明に交わるか、あるいはそれぞれの多様体の開部分集合で交わる、埋め込まれた複素多様体である。

ABSTRACT

We examine invariant nonrecurrent Fatou components of automorphisms of $\mathbb{C}^2$ in the case where all limit maps are constant. We show that except in special cases there cannot be more than one such limit map. We also briefly examine such Fatou components where the limit maps may be nonconstant. Lastly we present a few examples of such Fatou components.

研究の動機と目的

• ℂ² 上の正則自己同型写像における不変非再帰的 Fatou 成分の構造を分類すること。
• このような成分における反復から生じる極限写像（定数（ランク0）および非定数（ランク1））の性質を分析すること。
• 特に複数の極限写像が存在する場合に、それらの集合に課される位相的および力学的制約を特定すること。
• 多項式自己同型写像がこのような成分を持つための条件を確立すること。
• これらの力学的挙動を示す明示的な例の構成。

提案手法

• 固定点集合の近傍における力学を分析するため、Fatou 成分 Ω 内に F-不変曲線を構成する。
• 正規族および収束定理を用いて、{Fⁿ|Ω} の部分列から極限写像 h: Ω → ℂ² を抽出する。
• 固有値がディオファントス条件を満たす場合に、不変多様体理論を用いて横断的多様体族を構築する。
• ホロモルフィック拡張技術を用いて、ランク1極限写像の像を ∂Ω 内の埋め込まれた複素多様体として分析する。
• 補題の原理を適用して、特定の例において極限写像が w 軸上へ全射であることを示す。
• 座標変換および漸近展開を用いて、反復による座標の成長を推定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℂ² 上の不変非再帰的 Fatou 成分が、1つより多くの定数極限写像を有するための力学的条件は何か？
• RQ2 複数の定数極限写像が存在するためには、どのような位相的およびスペクトル的条件を満たす必要があるか？
• RQ3 非定数のランク1極限写像の像は、Fatou 成分の境界内でどのように交わるか？
• RQ4 ℂ² の多項式自己同型写像は、複数のランク0極限写像を有する不変非再帰的 Fatou 成分を持つことができるか？
• RQ5 回転数 θ は、例における極限写像の数および性質を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• 1つより多くの定数極限写像が存在する場合、それらの像の集合は非可算的であり、孤立点を含まない。
• 定数極限写像の像は、F の固定点集合に含まれる1次元部分多様体に位置し、∂Ω に含まれる。
• 複数の定数極限写像が存在するのは、F の微分が固有値 1 および e^{i2πθ} を持ち、θ が非ディオファントス的である場合に限る。
• ランク1極限写像の像は、∂Ω 内の埋め込まれた複素多様体であり、それらは自明に交わるか、あるいはそれぞれの多様体の開部分集合で交わる。
• 構成された例において、極限写像 h: Ω → ℂ² はランク1であり、コンパクト集合上で一様収束し、w 軸上へ全射である。
• 多項式自己同型写像は、1つより多くのランク0極限写像を有する不変非再帰的 Fatou 成分を持たない。このような成分は、Hénon 写像にのみ存在する。