[論文レビュー] Invariant percolation and measured theory of nonamenable groups

Cyril Houdayer|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2011

Advanced Operator Algebra Research参考文献 44被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、不変パーコレーションと測度群論を用いて、任意の非アーベル可算離散群が非可算無限個の非軌道同値な自由混合確率測度保存（pmp）作用をもつことを確立している。非アーベル群Γのボルンシュタインシフト内に自由群F₂の自由エルゴディックpmp作用を構成することで、F₂はΓに測度的に埋め込める（F₂ <_ME Γ）ことが示され、ヴォイナッチュの問題に対する測度群論的解法が得られるとともに、非アーベル群に対して非可算無限個の非OE作用が存在することが示された。

ABSTRACT

Using percolation techniques, Gaboriau and Lyons recently proved that every countable, discrete, nonamenable group $Γ$ contains measurably the free group $\mathbf F_2$ on two generators: there exists a probability measure-preserving, essentially free, ergodic action of $\mathbf F_2$ on $([0, 1]^Γ, λ^Γ)$ such that almost every $Γ$-orbit of the Bernoulli shift splits into $\mathbf F_2$-orbits. A combination of this result and works of Ioana and Epstein shows that every countable, discrete, nonamenable group admits uncountably many non-orbit equivalent actions.

研究の動機と目的

• 非アーベル群ΓがF₂の測度的コピーを含むことを示すことで、測度群論の枠組みにおいてヴォイナッチュの問題を解決すること。
• 非アーベル群が非可算無限個の非軌道同値な自由混合pmp作用をもつことを確立すること。
• 任意の非アーベル群のボルンシュタインシフトの軌道同値関係内に、エルゴディックで木構造的かつ非ハイパーファイニットな部分同値関係が存在することを自立的に証明すること。
• 不変パーコレーションにおける自由最小スパニングツリーを主要な構成道具として用いて、ガボリアウ＝ライオンズの定理を拡張すること。
• 構成された作用のコープマン表現が非可算無限個の非同型な既約部分表現を含むことから、軌道同値類が可算であると仮定すると矛盾が生じることを示すこと。

提案手法

• Γのケイリー図形上の不変パーコレーション、特に自由最小スパニングツリーを用いて、R ⊂ R(Γ ≀ [0,1]^Γ) なる部分同値関係Rを構成する。
• 確率論的および幾何的群論的技法を用いて、この部分同値関係がエルゴディックで木構造的かつ非ハイパーファイニットであることを証明する。
• ガボリアウのコスト理論を適用し、構成された部分同値関係のコストが2以上であることを示し、これによりHjorthの結果からF₂作用の存在が導かれる。
• ガウスィアン作用とコインダクションを用いて、F₂のユニタリ表現πによってインデックスづけられた、自由pmp作用σ_π: Γ ≀ X → X の族を構築する。
• σ_πのコープマン表現が元の表現πを含むことを確立し、これが軌道同値性が可算であると仮定した場合に矛盾を引き起こすことを導く。
• 条件(∗)および条件(∗∗)を活用して、商写像の混合性と非自明性を保証し、作用の非共役性を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の非アーベル可算離散群は、非可算無限個の非軌道同値な自由混合pmp作用をもつか？
• RQ2 自由群F₂は、任意の非アーベル群Γに軌道同値関係を介して測度的に埋め込めるか？
• RQ3 非アーベル群のボルンシュタインシフトの軌道同値関係内に、測度的・エルゴディックで木構造的かつ非ハイパーファイニットな部分同値関係が存在するか？
• RQ4 Γのケイリー図形における自由最小スパニングツリーは、このような部分同値関係を生じるか？
• RQ5 構成された作用のコープマン表現の性質は、軌道同値類の分類にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 任意の非アーベル可算離散群Γは、非可算無限個の非軌道同値な自由混合pmp作用をもつ。
• 自由群F₂は任意の非アーベル群Γに測度的に埋め込める、すなわちF₂ <_ME Γが成り立つ。
• 非アーベル群Γのボルンシュタインシフトの軌道同値関係内に、自由最小スパニングツリーから生じるエルゴディックで木構造的かつ非ハイパーファイニットな部分同値関係が存在する。
• 構成された作用σ_π: Γ ≀ X → X は混合的であり、互いに非共役であり、コープマン表現には非可算無限個の非同型な既約部分表現が含まれる。
• 非可算無限個の非OE作用の存在は、背理法によって証明される：もしそれらが軌道同値であれば、コープマン表現に非可算無限個の非同型な既約部分表現が含まれることになるが、これは可分ヒルベルト空間では不可能である。
• 証明により、アーベル群のクラスは、軌道同値に関して唯一の自由エルゴディックpmp作用をもつことによって、正確に特徴づけられることが確認された。