[論文レビュー] Invariant Quantum Algorithms for Insertion into an Ordered List

Edward Farhi, Jeffrey Goldstone+2 more|ArXiv.org|Jan 19, 1999

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 37

ひとこと要約

本稿では、順序付きリストへの要素挿入問題を対称的形に変換することで、より効率的な量子探索を可能にする、並進不変な量子アルゴリズムを提案する。グリーディ不変アルゴリズムを構築し、古典的二分探索を上回る性能を達成するとともに、古典的には不可能なほど少ないクエリ数で正確な量子アルゴリズムを発見し、大規模なNに対しては0.53 log N未満のクエリで挿入を実現する。

ABSTRACT

We consider the problem of inserting one item into a list of N-1 ordered items. We previously showed that no quantum algorithm could solve this problem in fewer than log N/(2 log log N) queries, for N large. We transform the problem into a "translationally invariant" problem and restrict attention to invariant algorithms. We construct the "greedy" invariant algorithm and show numerically that it outperforms the best classical algorithm for various N. We also find invariant algorithms that succeed exactly in fewer queries than is classically possible, and iterating one of them shows that the insertion problem can be solved in fewer than 0.53 log N quantum queries for large N (where log N is the classical lower bound). We don't know whether a o(log N) algorithm exists.

研究の動機と目的

• N−1個の要素からなる順序付きリストへの要素挿入を、古典的手法を上回る量子アルゴリズムで行うことを目的とする。
• 並進不変な量子アルゴリズムが、古典的手法よりも優れたクエリ複雑度を達成できるかどうかを調査すること。
• 成功確率が100%に達する正確な量子アルゴリズムを構築し、古典的下界log₂N未満のクエリ数で実行可能かどうかを検討すること。
• 特定のN値に対してkクエリの並進不変アルゴリズムが存在するかを調査し、より大きなN値の再帰的構成法を導出すること。
• 漸近的クエリ複雑度を分析し、この問題に対してo(log N)の量子アルゴリズムが存在するかどうかを検討すること。

提案手法

• 関数F_jの定義域を二重化することで、挿入問題を並進不変なオракル問題に変換し、対称性に基づく量子アルゴリズム設計を可能にする。
• 2N次元のヒルベルト空間上で作用するユニタリ操作V_1, ..., V_kの列を用いて量子アルゴリズムを定義し、各V_ℓが並進対称性を保存するようにする。
• 各ステップで成功確率を最大化するグリーディなアルゴリズム構成法を用い、N=2048などの特定のNについて数値評価を行う。
• 不変性および成功条件から導かれる多項方程式系を解くことにより、正確なkクエリアルゴリズムの体系的探索を実施する。
• 再帰的合成を活用：M−1個の要素に対してkクエリのアルゴリズムが存在する場合、M^h −1個の要素に対してはhkクエリで十分であり、より大きなN値に対する正確な解を得る。
• 位相最適化およびフーリエ変換を用いて明示的なアルゴリズムを構築し、F_0およびその対称性を介してユニタリな時間発展と正しいオラクル相互作用を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 並進不変な量子アルゴリズムは、順序付きリストへの要素挿入におけるクエリ複雑度において、古典的手法を上回ることができるか？
• RQ2 正確な解を得るための最小クエリ数は何か？ そして、これはlog₂N未満に抑えられるか？
• RQ3 どのNおよびkの値に対して、正確なkクエリの並進不変アルゴリズムが存在するか？
• RQ4 より小さな正確なアルゴリズムの再帰的合成により、o(log N)のクエリ複雑度を持つ量子アルゴリズムが得られるか？
• RQ5 グリーディ不変アルゴリズムは大規模Nにおいて優れたスケーリングを示し、その漸近的挙動を解析的に特徴づけられるか？

主な発見

• 本稿では、成功確率が0に近づかない範囲でも、挿入問題を解くあらゆるアルゴリズムに対して、log N / (2 log log N)のクエリ数の下界を確立した。
• N=2048の場合、グリーディ不変アルゴリズムは5クエリで99.39%の成功確率を達成し、古典的手法の最良ケース確率1/64を著しく上回る。
• N=6の場合、正確な2クエリ量子アルゴリズムを構築し、古典的log₂N下界を下回るクエリ数で確実に成功する量子アルゴリズムが可能であることを示した。
• N=52の場合、正確な3クエリアルゴリズムを発見し、再帰的合成により、大規模Nに対しては(3 / log₂52) log₂N ≈ 0.53 log₂Nのクエリ複雑度で抑えられる量子アルゴリズムが得られた。
• N=6や52などの特定のN値に対して、アルゴリズムパラメータの多項式制約の数値的解法により、正確なkクエリアルゴリズムの存在が確認された。
• 本稿では、古典的下界を下回るn log₂n未満のクエリ数でn個の要素をソートできる量子アルゴリズムを示した。これは、古典的二分挿入を正確な量子挿入サブルーチンに置き換えることで実現された。