[論文レビュー] Invariant theoretic approach to uncertainty relations for quantum systems

J. Solomon Ivan, Krishna Kumar Sabapathy+2 more|arXiv (Cornell University)|May 23, 2012

Quantum Information and Cryptography参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、密度行列の正半定値性とユニタリ対称性操作を活用することで、量子系における共変不確定性関係を導出する不変論的理論枠組みを開発する。これは、スレッダー＝ロバートソン不確定性原理を、Sp(2n, R)共変性を有するnモード系および1モード内の多項式観測量へと一般化し、Wigner分布技術を通じてローレンツ群SO(2,1)とのより深い関係を明らかにする。

ABSTRACT

We present a general framework and procedure to derive uncertainty relations for observables of quantum systems in a covariant manner. All such relations are consequences of the positive semidefiniteness of the density matrix of a general quantum state. Particular emphasis is given to the action of unitary symmetry operations of the system on the chosen observables, and the covariance of the uncertainty relations under these operations. The general method is applied to the case of an $n$-mode system to recover the $Sp(2n,\,R)$-covariant multi mode generalization of the single mode Schrödinger-Robertson Uncertainty Principle; and to the set of all polynomials in canonical variables for a single mode system. In the latter situation, the case of the fourth order moments is analyzed in detail, exploiting covariance under the homogeneous Lorentz group $SO(2,\,1)$ of which the symplectic group $Sp(2,\,R)$ is the double cover.

研究の動機と目的

• 密度行列の正半定値性に基づいて、量子系における不確定性関係を一般で共変な枠組みで導出すること。
• スレッダー＝ロバートソン不確定性原理を、シンプレクティック群Sp(2n, R)の下で明示的に共変となるnモード系へ拡張すること。
• 1モード系における高次モーメント（最高4次まで）を多項式観測量とそのローレンツ群SO(2,1)下での変換性を用いて分析すること。
• 連続変数および離散変数系、さらには混合変数タイプを含む複合系を含めた両者に適用可能な体系的な手法を確立すること。
• 部分転置操作の下での不確定性関係の破れを通じて、量子もつれの新たな検出を可能にすること。

提案手法

• 密度行列の正半定値性から不確定性関係を導出し、それらを対称的（揺らぎ）および反対称的（交換子）な部分に分解する。
• 位相空間における演算子期待値および共分散を表現する技術的手段として、Wigner分布を用いる。
• 観測量にユニタリ対称性操作を適用し、不確定性関係がこれらの作用の下で共変に変換されることを保証する。
• 1モード内の多項式観測量に対して、Sp(2, R)の完全可約表現を用いて無限次元の不確定性行列を、有限次元制約のネストされた系列に還元する。
• SO(2,1)の定義的および低次元表現を用いて、4次モーメント関係を完全に共変な形で取り扱う。
• Weyl対応を用いて、演算子積を位相空間関数に写像し、ℏに依存する非可換補正項を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 系のユニタリ対称性操作の下で共変性を保つ方法で、不確定性関係を体系的に導出するにはどうすればよいか？
• RQ2 nモード量子系における不確定性関係の構造は何か？ また、それらはSp(2n, R)正則変換の下でどのように変化するか？
• RQ3 正準変数の高次モーメント（例：4次）は不確定性関係にどのように寄与するか？ それらの構造を規定する対称性は何か？
• RQ4 1モード系における無限個の多項式観測量は、有限で計算可能な不確定性制約の階層に還元可能か？
• RQ5 ローレンツ群SO(2,1)は、1モード系における4次モーメントの不確定性関係をどのように整理するか？

主な発見

• nモード系におけるスレッダー＝ロバートソン不確定性関係は、シンプレクティック群Sp(2n, R)の下で明示的に共変であり、1モード系の一般化である。
• 1モード系において、4次モーメントの全不確定性関係はローレンツ群SO(2,1)によって支配され、共分散行列の反対称的部分が(2+1)次元の傾いたローレンツ計量に関連している。
• Wigner分布の定式化により、不確定性行列がランク1射影と非自明なℏ依存行列の和の位相空間平均として表現可能であり、量子補正を捉えることができる。
• 不確定性行列の実対称部分は、虚数の反対称部分が特異であっても、正半定値のままであるため、不確定性条件の有効性が保証される。
• 本手法により、状態の部分転置が導出された不確定性関係を破るかどうかのテストを通じて、2粒子系におけるもつれの検出が可能になる。
• 本枠組みは一般であり、連続変数系および離散変数系、混合変数タイプを含む複合系に対しても適用可能である。