[論文レビュー] Inverse scattering transform and soliton solutions for the focusing Kundu-Eckhaus equation with nonvanishing boundary conditions

Jin‐Jie Yang, Shou‐Fu Tian+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2019

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 32被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、非消滅境界条件（NZBC）を有するフォーカス型 Kundu-Eckhaus（KE）方程式に対して、リーマン・ヒルベルト（RH）問題フレームワークを構築し、逆散乱変換を用いてソリトン解を導出する。単一および二重の零点に対する散乱係数のトレース公式とシータ条件を確立し、離散固有値が特異点に近づくにつれて解がラフ波に発展することを明らかにする。

ABSTRACT

The focusing Kundu-Eckhaus (KE) equation with non-zero boundary conditions at infinity, under two cases: simple zeros and double zeros, is investigated systematically via Riemann-Hilbert (RH) problem. We derive some new results for the equation including the following seven parts. (I) The analyticities and symmetries of the Jost function and the scattering matrix are analyzed with the help of the normalized Lax pair. (II) Based on the resulting symmetries, the corresponding discrete spectrum set and residue conditions of scattering coefficients are further obtained, which is very important to construct the formulae of solution to the original equation. (III) A generalized RH problem is established by combining the analytic properties of Jost functions and modified eigenfunctions. (IV) The RH problem is solved by the corresponding asymptotic behavior combined with the Plemelj's formulae and Cauchy operator. The expression of the solution to the focusing KE equation is given under the condition of non-reflection. (V) From the reflection coefficients and discrete spectrums, the trace formula and the corresponding theta condition are given to obtain the phase difference of the initial value at the boundary. (VI) For the double zeros, there is a similar framework from the set of discrete spectral points, but the operation process is much more complicated than that of simple zeros, and new results and phenomena appear. (VII) Some interesting phenomena are obtained that one of the solutions is gradually to rouge waves when the spectrum points tend to singular points by choosing appropriate parameters.

研究の動機と目的

• 非消滅境界条件の下でフォーカス型Kundu-Eckhaus方程式を体系的に逆散乱理論を用いて解くこと。
• 逆散乱プロセスにおける多価関数および非ゼロスペクトル挙動の課題に対処すること。
• 単一および二重の離散スペクトル点に対し、残留条件および対称性制約を含めたソリトン解を導出すること。
• 初期データの無限遠における位相差を特定するためのトレース公式およびシータ条件を確立すること。
• 特異点付近での固有値ダイナミクスを通じてラフ波解がどのように出現するかを調査すること。

提案手法

• 正規化されたLaxペアを用いてジョスト解および散乱行列を構築し、その正則性および対称性の性質を分析する。
• リーマン面を変換し多価性を除去するためのアフィン変換を導入し、一般化されたRH問題の定式化を可能にする。
• プレメルジュの公式およびコーシー作用素を用いてRH問題を解き、反射なし条件下での解の表現式を導出する。
• スペクトル輪郭に沿った対数積分を用いて散乱係数のトレース公式を導出する。この際、離散固有値を組み込む。
• 解が $ z \to 0 $ に近づくときの挙動を分析することでシータ条件を確立し、位相差を固有値の位置と関連付ける。
• マップルを用いた数値シミュレーションにより、固有値パラメータを変化させることでソリトンおよびラフ波解の可視化を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非消滅境界条件の下で、フォーカス型Kundu-Eckhaus方程式に対する逆散乱変換をどのように一般化できるか。
• RQ2 NZBCの場合におけるジョスト関数および散乱行列の解析的性質および対称性は何か。
• RQ3 散乱係数における二重零点が単一零点と比較してソリトン解の構造にどのように影響を与えるか。
• RQ4 初期データの無限遠における位相差を支配するトレース公式およびシータ条件は何か。
• RQ5 どのようなパrameter領域においてソリトン解がラフ波に類似した構造に遷移するか。

主な発見

• 非消滅境界条件を有するフォーカス型KE方程式に対して、アフィン変換を用いて多価性を克服したリーマン・ヒルベルト問題が成功裏に定式化された。
• 離散固有値上の積項を含む対数積分を用いて、$ s_{11}(z) $ および $ s_{22}(z) $ のトレース公式が導出された。
• 反射なし条件下で、$ \arg(q_-/q_+) = 8\sum_{n=1}^{N} \arg z_n $ というシータ条件が得られ、位相差と固有値位置が関連づけられた。
• 二重零点の場合は解の枠組みが拡張されたが、計算はより複雑であり、新たな構造的現象が得られた。
• 数値的シミュレーションにより、離散固有値 $ z_1 \to 1/8 + i $ に近づくにつれて、ブレザー解がラフ波のプロファイルに遷移することが示された。
• 固有値の大きさが小さくなると解は不規則になり、$ z_1 = i $ における特異点は解の挙動における臨界的転換点を示している。