[論文レビュー] Inversion of Separable Kernel Operators in Coupled Differential-Functional Equations and Application to Controller Synthesis

Guoying Miao, Matthew M. Peet+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2017

Numerical methods for differential equations参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、結合された微分関数方程式における分離可能カーネル作用素の直接代数的逆演算手法を提示し、時間遅れ系の効率的な制御則合成を可能にする。級数展開を避けて不変部分空間の性質を活用することで、計算複雑性を低減し、和の平方（SOS）最適化を用いて高次元系の安定化を実現する。2つの遅延チャネルを有する6状態系に対して実証された。

ABSTRACT

This article presents the inverse of the kernel operator associated with the complete quadratic Lyapunov-Krasovskii functional for coupled differential-functional equations when the kernel operator is separable. Similar to the case of time-delay systems of retarded type, the inverse operator is instrumental in control synthesis. Unlike the power series expansion approach used in the previous literature, a direct algebraic method is used here. It is shown that the domain of definition of the infinitesimal generator is an invariant subspace of the inverse operator if it is an invariant subspace of the kernel operator. The process of control synthesis using the inverse operator is described, and a numerical example is presented using the sum-of-square formulation.

研究の動機と目的

• 結合された微分関数方程式における分離可能カーネル作用素の効率的な逆作用素法の開発を目的とする。
• べき級数展開に依存せずに、時間遅れ系の制御則合成を可能とする。
• 無限小生成作用素における構造的不変性を活用することで、制御則設計における計算複雑性を低減する。
• 和の平方（SOS）フレームワークを、結合ダイナミクスと分布遅れを有する系へと拡張する。
• 6状態および2つの遅延チャネルを有する高次元系に対して、本手法を実証する。

提案手法

• べき級数展開を用いずに、直接代数的アプローチによりカーネル作用素の逆を導出する。
• もしあらかじめカーネル作用素に対して不変部分空間が成立するならば、その逆作用素に対しても無限小生成作用素の定義域が不変であることを確立する。
• 安定性解析のための完全な二次形式のラプラシアン＝クラソフスキー汎関数を、逆作用素を用いて構築する。
• 区間 $[-r, 0]$ 上で行列値関数の正定性および負定性条件を満たすために、和の平方（SOS）最適化を用いる。
• フィードバック制御則を、状態フィードバック、遅延状態フィードバック、および遅延区間における分布積分作用の組み合わせとして表現する。
• SOSTOOLSおよび多項式最適化を用いて、多項式意思決定変数を有する半正定値計画問題を解く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 結合された微分関数方程式における分離可能カーネル作用素の逆は、級数展開を用いずに計算可能か？
• RQ2 逆作用素は、分布遅れを有する時間遅れ系の安定化制御則合成にどのように利用可能か？
• RQ3 微分差分形式は、標準的な遅れ微分方程式フレームワークに比べて、計算上の利点を有するか？
• RQ4 無限小生成作用素の不変部分空間性質は、逆作用素に対しても保持されるか？
• RQ5 本手法は、既存のSOSに基づく制御則合成手法と比較して、複雑性およびスケーラビリティにおいて優位性を示すか？

主な発見

• 逆作用素は代数的に導出され、べき級数展開の必要がなくなり、計算効率が向上した。
• 無限小生成作用素の定義域は逆作用素に対しても不変のままであり、安定性解析に不可欠な構造的性質が保持された。
• 制御則設計における意思決定変数の数は $3n$ から $n + 2m$ に削減され、$m \ll n$ の場合に顕著に計算複雑性が低減された。
• 2つの遅延チャネルを有する6状態系は、本手法により効果的に安定化された。制御則には、状態、遅延状態、および分布積分フィードバックが含まれた。
• 閉ループ系は数値的にシミュレートされ、漸近的安定性が確認され、制御則設計の有効性が裏付けられた。
• 本手法により、結合ダイナミクスと分布遅れを有する系に対してもSOSに基づく最適化が可能となり、従来の遅延型系に限定された結果を拡張した。