[論文レビュー] Irreducibility of the space of cyclic covers of algebraic curves of fixed numerical type and the irreducible components of $Sing (\bar{\mathfrak M_g})$

Fabrizio Catanese|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、固定された数的型を持つ代数曲線の巡回被覆のモジュライ空間の不可約性を確立し、特に安定曲線に対して、コンパクト化されたモジュライ空間 $\overline{\mathfrak{M}_g}$ の特異点集合の既約成分を完全に明示的に記述する。主な貢献は、安定曲線上の素数位の自己同型の数的・組合せ的型の最大性に基づく、$\mathrm{Sing}(\overline{\mathfrak{M}_g})$ の境界成分の分類である。

ABSTRACT

We prove irreducibility for the space of cyclic covers of fixed numerical type between smooth projective curves, and also for the space of cyclic covers of prime order and of fixed numerical-combinatorial type between moduli-stable projective curves. As an application we describe the irreducible components of the singular locus of the compactified moduli space of curves $\bar{\mahfrak M_g}$, extending the work of Cornalba, who described the irreducible components of the singular locus of the moduli space of curves $\mahfrak M_g}$.

研究の動機と目的

• 固定された数的型を持つ代数曲線の巡回被覆空間の不可約性を確立し、これまでの結果を任意の次数 $d$ に拡張する。
• コルナーラの $\mathrm{Sing}(\mathfrak{M}_g)$ の既約成分の記述を、退化技術の代わりに数的不等式を用いるより短く直接的な証明を与える。
• $\mathrm{Sing}(\overline{\mathfrak{M}_g})$ の既約成分のうち、$\overline{\mathfrak{M}_g} \setminus \mathfrak{M}_g$ に完全に含まれる成分を、特に素数位の最大巡回作用から生じるものを分類する。
• 特に次数 $d$ が素数である場合に、安定曲線上の最大巡回被覆の組合せ的・数的特徴づけを開発する。
• 任意の与えられた数的・組合せ的型をその最大代表元に変換する簡略化アルゴリズムを構築し、成分分類を可能にする。

提案手法

• 巡回群 $G \cong \mathbb{Z}/d$ を持つガロア被覆の位相型を解析するため、ティヒミュラー理論とモノドロミー表現を用いる。
• 因子的基底上のアーベル被覆のパルディーニ理論を応用し、巡回被覆の族を構成し、その不変量を分析する。
• 数的不等式（命題 3.2）を用いて、$\mathrm{Sing}(\mathfrak{M}_g)$ 成分の不可約性を示す際の退化的議論を置き換える。
• 自己同型 $\gamma$ が唯一の成分でのみ非自明に作用するような「最大」な対 $(C, \gamma)$ の概念を導入し、成分分解における開稠密なストラトスを定義する。
• 任意の数的・組合せ的型をその最大代表元に変換する「簡略化アルゴリズム」を開発し、重複のない成分分解を保証する。
• ノードにおける安定化群を分析し、固定点データを用いて、自己同型が一致するか否かを区別する。特に $h_1=0, k=3$ のような例外的配置において重要である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 安定曲線 $C$ と素数位 $d$ の巡回自己同型 $\gamma$ に対して、対 $(C, \gamma)$ が最大であるための必要十分な数的・組合せ的条件は何か？
• RQ2 $\mathrm{Sing}(\overline{\mathfrak{M}_g})$ の既約成分を、特に $\overline{\mathfrak{M}_g} \setminus \mathfrak{M}_g$ に完全に含まれる成分について、明示的かつ重複のない形で分類できるか？
• RQ3 群 $G$ が巡回群であるとき、数的不変量（分岐列、成分型）が、巡回被覆の位相型をどの程度まで決定するか？
• RQ4 複数の楕円テイルを持つ安定曲線の自己同型群の構造は何か？ また、$\overline{\mathfrak{M}_g}$ の特異点集合にどのような影響を与えるか？
• RQ5 最大巡回被覆の分類を素数位の自己同型を超えて拡張できるか？ また、非素数の場合に生じる複雑さは何か？

主な発見

• 任意の次数 $d$ に対して、固定された数的型を持つ滑らかな曲線の巡回被覆空間は不可約であり、コルナーラの素数の場合の結果を一般化する。
• $\mathrm{Sing}(\mathfrak{M}_g)$ の既約成分は、素数位の固定位相型を持つ巡回被覆をパラメトライズする開集合の閉包として、重複なく記述される。
• $g \geq 3$ の場合、唯一の例外は genus 3 のハイパーオリーブィック・ロケイリスであり、これはすでに一般枠組みに含まれている。
• $\mathrm{Sing}(\overline{\mathfrak{M}_g})$ の既約成分は二種類に分けられる：$\mathrm{Sing}(\mathfrak{M}_g)$ からの閉包成分と、境界に完全に含まれる新しい成分。
• 境界成分は、唯一の成分でのみ非自明に作用する素数位の最大巡回作用から生じる。完全な数的・組合せ的特徴づけが与えられている。
• 例外的ケース $h_1 = 0, k = 3$ において、位数 2 の自己同型 $\gamma$ は、支持成分の正規化上で正確に 3 個の固定点を持つ。これは一意性の障害となり、別個の取り扱いが求められる。