[論文レビュー] Irreducible polynomials with prescribed trace and restricted norm

Keijo Kononen, Marko Moisio+2 more|ArXiv.org|Oct 15, 2007

Polynomial and algebraic computation被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、有限体 $\mathbb{F}_q$ 上のモニック非可約多項式の次数 $m$ に対して、指定されたトレースとノルムが部分群 $\langle g^s \rangle$ の陪集合内にある場合の明示的公式を提供する。指数和およびヤコビ和を用いて、$q = p$ の場合の $s = 2, 3, 4$ に対して閉形式の表現を導出し、$r = 2en$ かつ $s \mid (p^e + 1)$ の場合にも適用可能である。$p = 2$ かつ $m \leq 30$ の場合、トレースとノルムが両方固定された状況において完全な公式が得られている。

ABSTRACT

Let GF(q), q=p^r, be a finite field with a primitive element g. In this paper we use exponential sums and Jacobi sums to compute the number of the irreducible polynomials of degree m over GF(q) with trace fixed and norm restricted to a coset of a subgroup , s|(q-1). We give the number explicitly for s=2, 3, 4 when q=p, and for s|(p^e+1) when r=2en. Finally, we give explicit formulae for the number when both trace and norm are fixed, p=2 and m =< 30.

研究の動機と目的

• カルツィットの『平方剰余の群内に固定されたトレースとノルムを持つ非可約多項式』に関する研究を一般化し、$\langle g^s \rangle$ の任意の陪集合に拡張すること。
• 有限体 $\mathbb{F}_q$ 上の次数 $m$ の非可約多項式のうち、指定された陪集合内に固定されたトレースとノルムを持つものの個数を計算すること。
• 特に $s = 2, 3, 4$ の場合、および $r = 2en$ の下で $s \mid (p^e + 1)$ の場合に、個数の明示的閉形式表現を提供すること。
• $p = 2$ かつ $m \leq 30$ の場合、基本的な指標和の技法を用いて、トレースとノルムが両方固定された状況における明示的公式を導出すること。

提案手法

• この手法は、標準的な加法的指標と乗法的指標を用い、指数和を介してトレースおよびノルムの条件を満たす解の個数を表現する。
• 中間体 $\mathbb{F}_{q^t}$ 内の解の個数に対してモビウスの反転公式を適用することで、このような多項式の個数が得られる。
• 主要な式は $P_m(a,s,h) = \frac{1}{m} \sum_{t \mid m} \mu(m/t) N_t$ であり、$N_t$ は $\mathbb{F}_{q^t}$ 内で指定されたトレースとノルムを持つ要素の個数を表す。
• 和 $M_t$ は、特に $s = 2, 3, 4$ の場合および $r = 2en$ かつ $s \mid (p^e + 1)$ の場合に、ガウス和およびヤコビ和を用いて評価される。
• L関数や代数幾何学を避けて、代わりに指標和の明示的評価と円分陪集合の性質に依拠している。
• $p = 2$ かつ $m \leq 30$ の場合、既知のガウス和およびヤコビ和の評価（複素数の単位根およびガウス和の実部を含む）を用いて公式が導出されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限体 $\mathbb{F}_q$ 上の次数 $m$ の非可約多項式のうち、$\langle g^s \rangle$ の陪集合内に固定されたトレースとノルムを持つものはいくつあるか？
• RQ2 $s = 2, 3, 4$ および $q = p$ の場合に、個数の明示的公式を導出できるか？
• RQ3 $p = 2$ かつ $m \leq 30$ の場合、トレースとノルムが両方固定された非可約多項式の個数は何か？
• RQ4 $r = 2en$ かつ $s \mid (p^e + 1)$ の場合、ノルム要素の乗法的群内でのインデックスに応じて個数はどのように変化するか？

主な発見

• $s = 2$ の場合、ガウス和を用いて、陪集合 $g^h\langle g^2 \rangle$ 内に固定されたトレースとノルムを持つ非可約多項式の個数が明示的に計算され、カルツィットの結果が一般化されている。
• $s = 3$ の場合、公式は立方ガウス和を含み、$b$ のインデックスを modulo 3 で分類し、$3 \mid \operatorname{ind} b$ と $3 \nmid \operatorname{ind} b$ の場合で異なる表現を持つ。
• $s = 4$ の場合、四次ガウス和を用いて個数が導出され、$q \mod 4$ の値に依存する。$q \equiv 1 \mod 4$ と $q \equiv 3 \mod 4$ の場合で異なる式が得られる。
• $r = 2en$ かつ $s \mid (p^e + 1)$ の場合、このような多項式の個数はガウス和および複素数の単位根の実部を用いて表現され、特に $\omega_7$ および $\omega_{21}$ が関与する。
• $p = 2$ かつ $m \leq 30$ の場合、トレースとノルムが両方固定された非可約多項式の個数について明示的公式が与えられており、$q = 2, 4, 8$ および $m = 3, 4, \dots, 13$ の場合を含む。これらの結果は、既知のデータベースと一致している。
• $m = 21$ の場合、$\sqrt{q^5}$、単位根の実部、および $\operatorname{ind} b$ の円分陪集合への依存性を含む複雑な式が得られ、$21 \mid \operatorname{ind} b$、$C_c^{21}$ などの場合に別々のケースが存在する。