[論文レビュー] Is submodularity testable?

C. Seshadhri, Jan Vondrák|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2010

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、性質テストを用いてブールハイパーキューブ上での部分集合関数のサブモジュラリティを効率的にテストできるかを調査する。局所的なサブモジュラリティ違反を検出する自然なテスト器を提案し、それが部分指数的時間で動作することを証明する。これにより、ブールハイパーキューブ上でのサブモジュラリティの最初の非自明なテスト器が確立される。一方、サブモジュラリティから遠い関数における複雑なグローバル依存関係のため、特定の条件下では効率的なテスト器が存在しないことも示している。

ABSTRACT

We initiate the study of property testing of submodularity on the boolean hypercube. Submodular functions come up in a variety of applications in combinatorial optimization. For a vast range of algorithms, the existence of an oracle to a submodular function is assumed. But how does one check if this oracle indeed represents a submodular function? Consider a function f:{0,1}^n ightarrow R. The distance to submodularity is the minimum fraction of values of $f$ that need to be modified to make f submodular. If this distance is more than epsilon > 0, then we say that f is epsilon-far from being submodular. The aim is to have an efficient procedure that, given input f that is epsilon-far from being submodular, certifies that f is not submodular. We analyze a very natural tester for this problem, and prove that it runs in subexponential time. This gives the first non-trivial tester for submodularity. On the other hand, we prove an interesting lower bound (that is, unfortunately, quite far from the upper bound) suggesting that this tester cannot be very efficient in terms of epsilon. This involves non-trivial examples of functions which are far from submodular and yet do not exhibit too many local violations. We also provide some constructions indicating the difficulty in designing a tester for submodularity. We construct a partial function defined on exponentially many points that cannot be extended to a submodular function, but any strict subset of these values can be extended to a submodular function.

研究の動機と目的

• ブールハイパーキューブ上の関数に対して、性質テストを用いてサブモジュラリティがテスト可能かどうかを明らかにすること。
• 局所的なサブモジュラリティ違反をチェックする自然なテスト器の効率性と正しさを分析すること。
• サブモジュラリティから遠いが局所的違反が少ない関数の構造的複雑性を理解すること。
• 部分関数がサブモジュラル関数に拡張できないことの小さな証明（証明候補）が存在するかを調査すること。
• 局所的違反（例：違反する正方形）とグローバルなサブモジュラリティからの距離との関係を調査すること。

提案手法

• 論文は、ランダムに選ばれた集合のペアをサンプリングし、それらが誘導する2×2正方形（すなわち、限界値が非増加でない場合）でサブモジュラリティ条件が違反しているかをチェックする性質テスト器を導入する。
• 関数がε-サブモジュラリティから離れている場合、テスト器は部分指数的時間で定数確率で違反を検出できることを証明する。
• 解析は単調性テストへの還元に基づく：fからgを構成し、gがサブモジュラルであることとfが単調であることとが同値になるようにし、既知の単調性テストの下界を用いてサブモジュラリティの下界を導出する。
• 指数的に多くの点で定義された部分関数を構成し、それがサブモジュラル関数に拡張できないが、すべての真部分集合は拡張可能であることを示す。これにより、非拡張可能性に小さな証明がないことが示される。
• 限界値が単調かつサブモジュラルである関数hを再帰的に構築し、それを関数fと組み合わせて、グローバルにサブモジュラリティから遠く、局所的違反が少ない反例を構築する。
• 任意の1方向非適応的サブモジュラリティテスト器はΩ(√n)クエリを必要とし、任意の適応的テスト器はΩ(log n)クエリを必要とすることを証明する。これは単調性テストの下界への還元に基づく。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブールハイパーキューブ上でのサブモジュラリティは、性質テスト枠組みを用いて効率的にテスト可能か？
• RQ2 サブモジュラリティからε-離れている関数において、違反する正方形の最小密度は何か？
• RQ3 ハイパーキューブの大部分で定義された部分関数はサブモジュラル関数に拡張可能か？もし不可能なら、その非拡張性は小さな証明で証明可能か？
• RQ4 局所的サブモジュラリティ違反は、グローバルなサブモジュラリティからの距離とどのように関係するか？
• RQ5 違反する正方形を検出するテスト器よりも、より効率的な適応的または非正方形ベースのサブモジュラリティテスト器は存在するか？

主な発見

• 提案されたサブモジュラリティテスト器は部分指数的時間で動作し、ブールハイパーキューブ上でのサブモジュラリティの最初の非自明なテスト器を提供する。
• 単調性テストへの還元に基づき、任意の1方向非適応的サブモジュラリティテスト器はΩ(√n)クエリを必要とし、任意の適応的テスト器はΩ(log n)クエリを必要とすることが示された。
• サブモジュラリティから遠いが局所的違反が非常に少ない関数が存在する。これは、局所的テストでは効率的なグローバル検出が不可能である可能性を示唆する。
• 指数的に多くの点で定義された部分関数はサブモジュラル関数に拡張できないが、すべての真部分集合は拡張可能である。これは、非拡張可能性に小さな証明がないことを示している。
• 単調性からε-離れているが、サブモジュラル関数hと組み合わせると、関数gがε/2-サブモジュラリティから離れている関数fの構築により、単調性とサブモジュラリティテストの強い関連性が示された。
• 局所的障害が小さく、グローバル依存関係が複雑であるため、サブモジュラリティのテストは単調性のテストよりも本質的に難しいと示唆される。