[論文レビュー] Isometric realization of cross caps as formal power series and its applications

Atsufumi Honda, Kosuke Naokawa+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ホイットニー計量の等長実現の形式的べき級数解を構成することで、R³におけるクロスキャップの完全な内在的不変量の集合を導入する。可算個の不変量 {α_{i,j}}_{i+j≥2} が形式的等長同値類を完全に分類することを証明し、第一基本形式のテイラー展開からこれらの不変量を計算するアルゴリズムを提供する。

ABSTRACT

Two cross caps in Euclidean $3$-space are said to be formally isometric if their Taylor expansions of the first fundamental forms coincide by taking a suitable local coordinate system. For a given $C^\infty$ cross cap $f$, we give a method to find all cross caps which are formally isometric to $f$. As an application, we give a countable family of intrinsic invariants of cross caps which recognizes formal isometry classes completely.

研究の動機と目的

• 与えられたC∞クロスキャップ特異点に形式的に等長なすべてのクロスキャップを体系的に特定するための手法を開発すること。
• クロスキャップの形式的等長同値類を分類する完全な内在的不変量の集合を構成すること。
• 従来の不変量 α₂₀, α₁₁, α₀₂ を、ホイットニー計量に対して全族 {α_{i,j}}_{i+j≥2} に拡張すること。
• これらの不変量を第一基本形式のテイラー展開から明示的に計算するためのアルゴリズムを提供すること。
• 特異点における実解析的ホイットニー計量がR³におけるクロスキャップとして等長的に実現可能かどうかを理解するための枠組みを確立すること。

提案手法

• 正規形でクロスキャップを表現するための標準座標 (x,y) を用いる：f(x,y) = (x, xy + b(y), z(x,y)) で、b(0)=b′(0)=b′′(0)=0 かつ z(0,0)=zₓ(0,0)=zᵧ(0,0)=0, zᵧᵧ(0,0)>0 を満たす。
• 第一基本形式 dσ² = E dx² + 2F dxdy + G dy² を定義し、m+1次までのテイラー展開を計算する。
• ヤコビアンの逆行列を用いて形式的座標変換 (u,v) ↦ (x,y) を適用し、u,v をx,yにおける形式的べき級数として表現する。
• 定理1.10の証明から得られる再帰的公式を用いて、z(x,y) のテイラー展開の係数をE, F, Gおよびb(y)の係数で表現する。
• 不変量 α_{i,j} を、z(x,y) のテイラー展開の係数を階乗で正規化したものとして特定する。
• ボレルの定理を用いて形式的べき級数をC∞写像で近似し、滑らかな実現の存在を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられたクロスキャップに形式的に等長なすべてのクロスキャップを形式的べき級数を用いて体系的に構成できるか？
• RQ2 不変量 {α_{i,j}}_{i+j≥2} はクロスキャップ特異点の形式的等長同値類を完全に区別するか？
• RQ3 第一基本形式のテイラー展開からこれらの不変量を計算するアルゴリズムは存在するか？
• RQ4 特異点における実解析的ホイットニー計量の局所的形は、R³におけるクロスキャップとして等長的に実現可能か？
• RQ5 不変量 α_{i,j} は、特に特徴関数 b(y) とz成分とどのように幾何学的に関係しているか？

主な発見

• 不変量の族 {α_{i,j}}_{i+j≥2} は、特異点におけるホイットニー計量の形式的等長同値類を完全に分類する完全な集合をなす。
• 不変量 α_{i,j} は、第一基本形式のテイラー展開から体系的なアルゴリズムにより明示的に計算可能である。
• 先行研究における不変量 α₂₀, α₁₁, α₀₂ は、新規の族における最初の3つの不変量として回復される。
• 不変量 A₀₄ は閉じた形で表現可能である：A₀₄ = [4a₀₂(4b₄a₁₁ + 3a₀₄) + 3b₃(b₃(15a₁₁² - 4a₀₂a₂₀ + 7) + 4(a₀₃a₁₁ + 4a₀₂a₁₂))]/(12a₀₂)。
• 不変量 α_{i,j} は誘導計量に内在的であり、形式的等長写像のもとで不変のままとなるため、頑健な幾何的不変量である。
• 本構成により、任意のホイットニー計量の局所的形がR³におけるクロスキャップとして形式的べき級数で実現可能であるが、収束は保証されない。