[論文レビュー] Isomorphism classes of $k$-involutions of algebraic groups of type $E_6$

John Hutchens|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、特性が 2 または 3 でない体上の分離代数的群 $\operatorname{E}_6$ の $k$-自己同型（位数 2 の自己同型）の同型類を、アーベルト代数の等長群とブラウン代数の自己同型群を用いて分類する。主な結果は、クォータニオン代数とガロアコhomologyに関連する不変量を用いた $k$-自己同型の完全な分類であり、代数的閉体、実数体、有限体、$p$-進体上での明示的代表元が与えられる。

ABSTRACT

Automorphisms of order $2$ are studied in order to understand generalized symmetric spaces. The groups of type $E_6$ we consider here can be realized as both the group of linear maps that leave a certain determinant invariant, and also as the identity component of the automorphism group of a class of structurable algebras known as Brown algebras. We will classify the $k$-involutions of these groups of type $E_6$ using aspects of both descriptions, and give detailed descriptions of representatives over certain fields including algebraically closed fields, $\mathbb{R}$, $\mathbb{F}_p$, and $\mathbb{Q}_p$.

研究の動機と目的

• 特性が 2 または 3 でない体上の分離代数的群 $\operatorname{E}_6$ の $k$-自己同型を分類すること。
• 固定点群 $H$ が $k$-自己同型の固定群であるような対称 $k$-概形 $G(k)/H(k)$ の構造を理解すること。
• アーベルト代数の等長群としての $\operatorname{E}_6$ と、ブラウン代数の自己同型群の単位成分としての $\operatorname{E}_6$ の二重実現を統一すること。
• $G(k)$-同型類の $k$-内部元と根データ上の適切な自己同型を含む不変量を用いて、$k$-自己同型の同型類を決定すること。
• 代数的閉体、実数体、有限体、$p$-進体上での同型類の明示的代表元を提供すること。

提案手法

• 分離アーベルト代数 $J$ に対して $\operatorname{Inv}(J)$ と、ブラウン代数 $B$ に対して $\operatorname{Aut}^+(B)$ として $\operatorname{E}_6$ の二重実現を用い、$k$-自己同型を分析する。
• 特に $H^1(k, \mu_2)$ を用いたガロアコホモロジーを適用し、$k$-内部元を分類し、$k$-自己同型の同型類と関連付ける。
• $\mathbb{Z}_2$-加重のリー代数と $k$-自己同型の間の対応を用い、内側 $k$-自己同型が $\operatorname{Aut}(\mathcal{A})$ への $\mu_2$ の埋め込みに対応することを活用する。
• 特にクォータニオン代数の構造を用いて、$k$-自己同型の同型類の変動を捉える。
• 細分アーベル群加重の理論と、自己同型群の同型による等価関係を用い、$\mathfrak{e}_6$ 上の加重を $k$-自己同型と関連付ける。
• $H^1(k, Z_G(r))$ と特定の代数の $K/k$-形のガロアコホモロジー類の間の双対性を用い、コホモロジー不変量と $k$-自己同型の類を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分離 $\operatorname{E}_6$ 群の $k$-自己同型の同型類は、体 $k$ に依存してどのように変化するか？
• RQ2 クォータニオン代数は、$\operatorname{E}_6$ の $k$-自己同型の同型類をパラメトライズする上で果たす役割は何か？
• RQ3 根データからの不変量と $G(k)$-同型類の $k$-内部元からの不変量は、$k$-自己同型をどのように分類するか？
• RQ4 代数的閉体、実数体、有限体、$p$-進体上での $k$-自己同型の明示的構造は何か？
• RQ5 定義的表現（アーベルト代数、ブラウン代数、オクタニオン代数）上の加重は、$\operatorname{E}_6$ の $k$-自己同型とどのように対応するか？

主な発見

• $k$-自己同型の同型類は、根データ上の適切な自己同型と $G(k)$-同型類の $k$-内部元に関連する不変量を用いて分類される。
• $k$-自己同型の同型類の変動は、主に $k$ 上の特定のクォータニオン代数の同型類に依存しており、これは補題 5.8 で示されている。
• 定理 5.9 は、$J$ が分離のとき、$\operatorname{Inv}(J)$ と $\operatorname{Aut}^+(B)$ の $k$-自己同型の同型類を、コホモロジー的および代数的不変量を用いて決定する方法を提供する。
• 定理 5.10 は、代数的閉体、$\mathbb{R}$、有限体、$\mathfrak{p}$-進体上での $k$-自己同型の同型類の明示的代表元を提供する。
• 分類は、$\operatorname{E}_6$ がアーベルト代数の等長群としても、ブラウン代数の自己同型群の単位成分としても実現されることに依存しており、統一的なアプローチを可能にする。
• $\mathbb{Z}_2$-加重のリー代数と $k$-自己同型の間の対応は、$\operatorname{Aut}(\mathcal{A})$ への $\mu_2$ の埋め込みを通じて確立され、$\mathcal{A}$ 上の加重が $\mathfrak{e}_6$ 上の対応する加重を誘導する。