[論文レビュー] Isomorphisms of jet schemes

Shihoko Ishii, J. Winkelmann|ArXiv.org|Aug 8, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ジャンルスキームの同型がそれらの基底スキームの同型を意味するかを検討する。$m$-ジャンルスキームの同型が基底スキームの準同型から生じるならば、その基底準同型は同型であることを証明する。しかし、ダニエルウェスキー・サーフェスを用いた反例を構成することで、ジャンルスキームの同型だけでは、基底スキームの同型を保証しないことが示される。これは、すべての $m \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}$ に対しても成り立つ。

ABSTRACT

If two schemes are isomorphic, then their $m$-jet schemes are isomorphic for all $m$. In this paper we consider the converse problem. We prove that if an isomorphism of the $m$-jet schemes is induced from a morphism of the base schemes, then the morphism of the base schemes is an isomorphism. But we also prove that just the existence of isomorphisms between $m$-jet schemes does not yield the existence of an isomorphism between the base schemes.

研究の動機と目的

• $m \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}$ に対して $m$-ジャンルスキームの同型が、それらの基底スキームの同型を意味するかどうかを検討すること。
• ジャンルスキームの同型を誘導する準同型の存在が、その準同型が同型であることを意味するかどうかを特定すること。
• すべての $m$ に対して $X_m \simeq Y_m$ であるが、$X \not\simeq Y$ であるような反例を構成し、逆は成り立たないことを示すこと。

提案手法

• ジャンルスキームを、切り捨て準同型 $\psi_{m,m'}: X_m \to X_{m'}$ によるフィルトレーションを伴う $\mathcal{O}_X$-代数としての構造を用いる。
• 圏的商の性質を適用する：$t \mapsto st$ によって誘導される $G = \mathbb{G}_m$-作用による、$\pi_m: X_m \to X$ は圏的商である。
• 標準的セクション $\sigma_{m-1}: X \to X_{m-1}$ の像の定義イデアル $\mathcal{J}^{(m)}$ を分析し、$\bigoplus_{i=1}^{m-1} \mathcal{R}^{(m-1)}_i$ によって生成されることを示す。
• exact sequence $0 \to \mathcal{J}_m^{(m)} \to \mathcal{R}_m^{(m)} \to \Omega_{X/k} \to 0$ を用いて、ジャンルスキームと余接層を関連付ける。
• ダニエルウェスキー・サーフェス $X: xz - y^2 + 1 = 0$ および $Y: x^2z - y^2 + 1 = 0$ を用いた反例を構成する。これらは非同型であるが、すべてのジャンルスキームが同型である。
• $X \times \mathbb{A}^1 \simeq Y \times \mathbb{A}^1$ であることと、canonical bundle の自明性を用いて、$X_m \simeq X \times \mathbb{A}^{2m}$、$Y_m \simeq Y \times \mathbb{A}^{2m}$ を有限 $m$ に対して示し、$m = \infty$ に対しては射影極限を取る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基底スキーム $X$ と $Y$ に対して、$m$-ジャンルスキーム $X_m$ と $Y_m$ の間に同型が存在するならば、$X$ と $Y$ は同型であるか？
• RQ2 基底スキームの準同型 $f: X \to Y$ が $m$-ジャンルスキームの同型 $f_m: X_m \to Y_m$ を誘導するならば、$f$ は同型であるか？
• RQ3 同型でない2つのスキームが、すべての $m \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}$ に対して $m$-ジャンルスキームが同型であることは可能か？

主な発見

• ある $m$ に対して、準同型 $f: X \to Y$ が $f_m: X_m \to Y_m$ を同型に誘導するならば、$f$ はスキームとしての同型である。
• $k$-スキーム $X$ のジャンルスキーム $X_m$ は、$\Omega_{X/k} \simeq \mathcal{O}_X^{\oplus 2}$ が成り立つ限り、$X \times \mathbb{A}_k^{2m}$ に同型である。これはダニエルウェスキー・サーフェスで成り立つ。
• 定義式 $xz - y^2 + 1 = 0$ および $x^2z - y^2 + 1 = 0$ で与えられるダニエルウェスキー・サーフェス $X$ と $Y$ に対して、すべての $m \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}$ に対して $X_m \simeq Y_m$ であるが、$X \not\simeq Y$ である。
• $\infty$-ジャンルスキーム $X_\infty$ は、$X_m \simeq Y_m$ である一貫した同型の射影極限として $Y_\infty$ に同型である。
• canonical bundle の自明性と余接層の構造を用いて、$X_m$ と $Y_m$ はそれぞれ $X \times \mathbb{A}_k^{2m}$ および $Y \times \mathbb{A}_k^{2m}$ に同型である。
• 反例により、一般にジャンルスキームは基底スキームの同型類を検出できないことが示され、すべてのジャンルスキームが同型であっても成り立たない。