[論文レビュー] Isoptic curves of conic sections in constant curvature geometries

Géza Csima, Jenő Szirmai|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2013

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 4被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、双曲的および円周的平面を含む一定曲率幾何における、円錐曲線が固定された角度から見える点の軌跡（等角曲線）を計算・可視化するための射影的モデルに基づく手法を開発する。楕円幾何における楕円、双曲線、放物線の等角曲線について、明示的な代数的方程式を導出し、従来のユークリッド幾何の結果を拡張し、楕円空間における等角曲線の最初の体系的な取り扱いを提供する。

ABSTRACT

In this paper we consider the isoptic curves on the 2-dimensional geometries of constant curvature $\bE^2,~\bH^2,~\cE^2$. The topic is widely investigated in the Euclidean plane $\bE^2$ see for example \cite{CMM91} and \cite{Wi} and the references given there, but in the hyperbolic and elliptic plane there are few results in this topic (see \cite{CsSz1} and \cite{CsSz2}). In this paper we give a review on the preliminary results of the isoptics of Euclidean and hyperbolic curves and develop a procedure to study the isoptic curves in the hyperbolic and elliptic plane geometries and apply it for some geometric objects e.g. proper conic sections. We use for the computations the classical models which are based on the projectiv interpretation of the hyperbolic and elliptic geometry and in this manner the isoptic curves can be visualized on the Euclidean screen of computer.

研究の動機と目的

• ユークリッド平面を超えて、双曲的および楕円幾何にまで等角曲線（ある曲線が固定された角度から見える点の軌跡）の研究を拡張すること。
• 円錐曲線の等角曲線に関する先行研究が全く知られていない楕円幾何における研究の欠落を補うこと。
• 非ユークリッド的一定曲率空間における等角曲線の導出と可視化を可能にする、射影的モデルに基づく計算フレームワークを開発すること。
• 楕円平面における適切な焦点を持つ特定の円錐曲線（楕円、双曲線、放物線）に本手法を適用すること。
• 楕円幾何におけるこれらの円錐曲線の等角曲線の明示的な代数的方程式を提供すること、特に直交等角曲線（α = π/2）のケースを含むこと。

提案手法

• 符号 (1,2) のローレンツ空間における楕円幾何の射影的モデルを用い、点を実射影空間内の線形射として表現し、二次形式を用いる。
• 焦点と準線を用いた幾何的定義に基づき、円錐曲線（楕円、双曲線、放物線）を射影的モデルで表現する。
• 双線形形式を介して楕円幾何における距離公式を適用し、角度による可視性条件を計算する。
• 等角曲線を導出するための連立方程式系を解く：(1) ある点から引いた2本の接線がなす角度がαであること、(2) 円錐曲線に接すること。
• 陰関数微分法と代数的消去法を用いて、等角曲線の軌跡の閉形式方程式を導出する。
• 射影的モデルを用いて、結果の曲線をユークリッドスクリーン上に可視化し、数値的および図式的な解析を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 楕円平面における楕円のα-等角曲線の代数的方程式は何か？
• RQ2 楕円幾何における双曲線および放物線の等角曲線は、それらのユークリッド版とどのように異なるか？
• RQ3 楕円的円錐曲線の等角曲線が存在する幾何的および角度的条件は何か？
• RQ4 楕円的円錐曲線の直交等角曲線（α = π/2）は、既知の代数的曲線として表現可能か？
• RQ5 射影的モデルは、一定曲率非ユークリッド幾何における等角曲線の計算と可視化をどのように支援するか？

主な発見

• 楕円的円錐曲線（楕円、双曲線、放物線）のα-等角曲線は、射影的モデルにおいて閉形式の代数的方程式として与えられる。
• 楕円的楕円および双曲線の場合、等角曲線の方程式は以下の通りである：$\cos^{2}(\alpha) = \frac{\left((1+f^{2})\cos(2a)(x^{2}+y^{2}+1)+f^{2}x^{2}-1\right)^{2}}{2(1+f^{2})y^{2}(f^{2}+x^{2})+(f^{2}-x^{2})^{2}+(1+f^{2})^{2}y^{4}}$。
• 楕円的楕円または双曲線の直交等角曲線（α = π/2）は、方程式 $(1+f^{2})\cos(2a)(x^{2}+y^{2}+1)+f^{2}x^{2}=1$ を満たす楕円である。
• 楕円的放物線の等角曲線は、以下の式で与えられる：$\cos(\alpha) = \frac{y(py+1)}{\sqrt{(x^{2}+1)((p^{2}(x^{2}+1)-2py+y^{2}+x^{2}))}}$。
• 楕円的放物線の直交等角曲線は、2本の直線 $y = 0$ および $y = -1/p$ から構成される。
• 楕円的双曲線の等角曲線の存在条件が導出され、角度および幾何的パラメータに依存する：$\alpha \notin I$ および $f$ と $a$ に関する制約があり、ここで $I = \left(\arccos\left(\frac{(1+f^{2})\cos(2a)-1}{f^{2}}\right), \arccos\left(\frac{1-(1+f^{2})\cos(2a)}{f^{2}}\right)\right)$ である。