[논문 리뷰] Iterative Particle Approximation for McKean-Vlasov SDEs with application to Multilevel Monte Carlo estimation

Łukasz Szpruch, Shuren Tan외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 03.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 27인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 조건부 독립을 보장하는 반복 입자 시스템을 제안하여 McKean-Vlasov SDE의 다중수준 몬테카를로(MLMC) 추정을 효율적으로 가능하게 한다. 반복적 방법의 약한 수렴성을 증명하고, 상태에 의존하는 함수형에 대해 계산 복잡도를 𝒪(ε⁻⁵)에서 𝒪(ε⁻²|log ε|²)로 감소시켜 가중치 노름에서 최적의 주기수준 향상을 달성한다.

ABSTRACT

The mean field limits of systems of interacting diffusions (also called stochastic interacting particle systems (SIPS)) have been intensively studied since McKean \cite{mckean1966class}. The interacting diffusions pave a way to probabilistic representations for many important nonlinear/nonlocal PDEs, but provide a great challenge for Monte Carlo simulations. This is due to the nonlinear dependence of the bias on the statistical error arising through the approximation of the law of the process. This and the fact that particles/diffusions are not independent render classical variance reduction techniques not directly applicable and consequently make simulations of interacting diffusions prohibitive. In this article, we provide an alternative iterative particle representation, inspired by the fixed point argument by Sznitman \cite{sznitman1991topics}. This new representation has the same mean field limit as the classical SIPS. However, unlike classical SIPS, it also allows decomposing the statistical error and the approximation bias. We develop a general framework to study integrability and regularity properties of the iterated particle system. Moreover, we establish its weak convergence to the McKean-Vlasov SDEs (MVSDEs). One of the immediate advantages of iterative particle system is that it can be combined with the Multilevel Monte Carlo (MLMC) approach for the simulation of MVSDEs. We proved that the MLMC approach reduces the computational complexity of calculating expectations by an order of magnitude. Another perspective on this work is that we analyse the error of nested Multilevel Monte Carlo estimators, which is of independent interest. Furthermore, we work with state dependent functionals, unlike scalar outputs which are common in literature on MLMC. The error analysis is carried out in uniform, and what seems to be new, weighted norms.

연구 동기 및 목표

• 입자 간 상호작용으로 인한 McKean-Vlasov SDE 시뮬레이션의 높은 계산 비용을 해결하기 위해.
• 기존의 상호작용 입자 시스템에서 표준 MLMC가 실패하는 문제를 해결하기 위해, 새로운 반복 입자 표현 방식을 도입하기 위해.
• 드리프트 및 확산 계수에 대한 일반적인 조건 하에서 반복 입자 시스템이 McKean-Vlasov SDE로의 약한 수렴성을 확립하기 위해.
• 비선형 Fokker-Planck 방정식에서 스칼라 출력 외에도 상태에 의존하는 함수형에 대해 분산 감소를 가능하게 하는 MLMC를 적용하기 위해.
• 균일 노름과 가중치 노름에서의 오차 분석을 포함한 내재된 MLMC 추정자 이론적 분석을 통해 새로운 이론적 도구를 제공하기 위해.

제안 방법

• Sznitman의 고정점 추론에 영감을 얻어 입자 간 조건부 독립을 도입한 반복 입자 시스템을 개발한다.
• 연속 보간을 사용하는 시간 이산화된 오일러 방법을 활용해 McKean-Vlasov SDE를 근사한다.
• 반복 입자 시스템에 대해 다중수준 몬테카를로(MLMC)를 적용하여 조건부 독립을 활용해 분산을 감소시킨다.
• 상태에 의존하는 함수형을 다루기 위해 오차 분석에 가중치 노름과 균일 노름을 활용한다.
• 반복적 방법과 MLMC 추정자에 대한 오차 한계를 유도하고, 표준 정규성 가정 하에서 수렴성을 증명한다.
• 비예측적 함수형을 위한 내재된 MLMC 추정자 분석을 통해 MLMC 이론을 평균장 SDE에까지 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 McKean-Vlasov SDE에 대해 조건부 독립을 유지하면서 효율적인 MLMC를 가능하게 하는 반복 입자 시스템을 구성할 수 있는가?
• RQ2 반복 입자 시스템이 McKean-Vlasov SDE로의 약한 수렴 속도는 얼마인가?
• RQ3 표준 𝒪(ε⁻⁵) 스케일링 이하로 계산 복잡도를 감소시키기 위해 반복 입자 시스템에 MLMC를 성공적으로 적용할 수 있는가?
• RQ4 균일 노름과 가중치 노름에서 상태에 의존하는 함수형의 오차는 어떻게 행동하는가?
• RQ5 McKean-Vlasov SDE의 함수형 기대값에 대해 제안된 MLMC 추정자의 계산 복잡도는 얼마인가?

주요 결과

• 드리프트 및 확산 계수에 대한 표준 정규성 조건 하에서 반복 입자 시스템은 McKean-Vlasov SDE로 약하게 수렴한다.
• 제안된 방법은 이전에 독립성 부족으로 인해 실패했던 상호작용 입자 시스템에 대해 MLMC 적용을 가능하게 한다.
• MLMC 추정자는 계산 복잡도를 𝒪(ε⁻²|log ε|²)로 감소시켜 기존 입자 방법의 𝒪(ε⁻⁵)에서 크게 개선한다.
• 오차 분석은 상태에 의존하는 함수형을 다루기 위해 필수적인 새로운 가중치 노름에서 수행된다.
• 스칼라 출력 외에도 일반적인 비예측적 함수형을 지원하여 MLMC의 평균장 SDE 적용 범위를 넓힌다.
• McKean-Vlasov SDE의 맥락에서 내재된 MLMC 추정자에 대한 첫 번째 엄밀한 오차 분석을 수립한다.