[논문 리뷰] Jacob's ladders and the first asymptotic formula for the expression of the sixth order $|\zeta(1/2+i\varphi(t)/2)|^4|\zeta(1/2+it)|^2$

Jan Moser|arXiv (Cornell University)|2009. 11. 06.

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한 줄 요약

이 논문은 리만 제타함수의 임계선에 대한 제아코브의 래더라는 새로운 변환을 사용하여, 여섯째 차수 표현 |ζ(1/2 + iϕ(t)/2)|⁴|ζ(1/2 + it)|²에 대한 최초의 점점 다가가는 공식을 수립한다. ˆZ²-변환과 잉함-힐브라운 적분 공식을 활용하여, [T, T+U]에서의 적분이 (1/2π²)U ln⁵T로 점점 다가가는 것으로 증명되며, 이는 우주적 후퇴와 유사한 먼 거리에 있는 제타값 간의 비국소적 상관관계를 드러낸다.

ABSTRACT

t is proved in this paper that there is a fine correlation between the values of $|\zeta(1/2+i\varphi(t)/2)|^4$ and $|\zeta(1/2+it)|^2$ which correspond to two segments with gigantic distance each from other. This new asymptotic formula cannot be obtained in known theories of Balasubramanian, Heath-Brown and Ivic.

연구 동기 및 목표

• 임계선 상에서 리만 제타함수의 비국소적 값이 포함된 여섯째 차수 제타 표현에 대한 최초의 점점 다가가는 공식을 유도하는 것.
• 임계선 상에서 멀리 떨어진 지점들에서 |ζ(1/2 + iϕ(t)/2)|⁴와 |ζ(1/2 + it)|² 간의 새로운 상관관계를 설정하는 것.
• 바라수브라마니안, 힐브라운, 이비츠의 기존 방법을 넘어서 제타함수의 모멘트 이론을 제아코브의 래더로 확장하는 것.
• 미래 시점의 값이 ˆZ²-변환를 통해 깊은 과거의 제타값으로부터 예측 가능한 비국소적 예측 메커니즘을 체계화하는 것.
• 위너의 통신이론 프레임워크에서 영감을 얻은 제타함수 신호의 자가상관 개념을 일반화하는 것.

제안 방법

• 점점 다가가는 관계 t − ½ϕ(t) ∼ (1−c)π(t)로 정의된 제아코브의 래더 ϕ(t)를 사용하여, 임계선 상의 제타함수를 재매개변수화하는 것.
• ˆZ²-변환의 적용: ∫ f(ϕ(t)/2) ˆZ²(t) dt = 2∫ f(x) dx (변환된 간격에서), 여기서 ˆZ²(t) = Z²(t)/Φ′_ϕ[ϕ(t)] 이고, Φ′_ϕ[ϕ(t)] ∼ ½(1 + o(1)) ln t 이다.
• Ingham-Heath-Brown 공식을 활용: ∫₀ᵀ |ζ(1/2 + it)|⁴ dt = C₀T ln⁴T + ... (C₀ = 1/(2π²))이며, 이를 이동된 간격으로 확장하는 것.
• 평균값 정리를 사용하여 |Z(ϕ(t)/2)|⁴Z²(t)의 적분을 [T, T+U]에서 Z²(t)의 평균과 연결하는 것, 여기서 U = T⁷/⁸⁺²ǫ 이다.
• ln(ϕ(T+U)/2) − ln(ϕ(T)/2)와 ϕ(T+U)−ϕ(T)의 점점 다가가는 전개를 적용하여, ln(ϕ(T)/2) ∼ ln T 이고, 차이는 o(1)임을 보이는 것.
• 이러한 추정치를 ∫ |Z(ϕ(t)/2)|⁴ ˆZ²(t) dt = 2∫ |Z(x)|⁴ dx와 결합하여 최종 점점 다가가는 결과를 도출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제아코브의 래더를 사용하여 여섯째 차수 표현 |ζ(1/2 + iϕ(t)/2)|⁴|ζ(1/2 + it)|²에 대한 새로운 점점 다가가는 공식을 도출할 수 있는가?
• RQ2 임계선 상에서 멀리 떨어진 지점들인 ϕ(t)/2와 t에서 제타값 간의 비국소적 상관관계의 성격은 무엇인가?
• RQ3 ˆZ²-변환는 고전적 모멘트 이론을 넘어서 이러한 점점 다가가는 공식 유도에 어떻게 기여하는가?
• RQ4 이 변환를 통해 깊은 과거의 값으로부터 미래의 제타값을 예측할 수 있는가?
• RQ5 구간의 후퇴와 유사한 허블-유사한 후퇴가 이러한 상관관계의 발생에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• ∫ₜ₌ₜᵀ⁺ᵁ |ζ(1/2 + iϕ(t)/2)|⁴|ζ(1/2 + it)|² dt ∼ (1/2π²) U ln⁵T (U = T⁷/⁸⁺²ǫ)로, |ζ(1/2 + iϕ(t)/2)|⁴|ζ(1/2 + it)|²에 대한 최초의 점점 다가가는 공식이 수립되었다.
• 기존의 바라수브라마니안, 힐브라운, 이비츠의 방법으로는 이 공식을 도출할 수 없으며, 이는 새로운 이론적 메커니즘이 있음을 시사한다.
• ϕ(t)/2와 t에서의 제타값 간에 비국소적 상관관계가 드러났으며, 구간 (T, T+U)와 (½ϕ(T), ½ϕ(T+U))는 T → ∞일 때 거리 ρ → ∞로 서로 후퇴한다.
• α ∈ (T, T+U)에서 |Z(α)|의 예측은 |Z₂(ϕ(α)/2)|에 의해 점점 다가가는 방식으로 결정되며, α ∼ ½ϕ(α) + (1−c)π(T)이다.
• ˆZ²-변환를 통해 t-간격에서의 적분을 x = ϕ(t)/2로의 적분으로 정확하게 변환할 수 있으며, 점점 다가가는 구조를 유지한다.
• 비슷한 자가상관 공식 ∫ |Z(ϕ(t)/2)|²|Z(t)|² dt ∼ U ln²T (U = T¹/³⁺²ǫ)가 네 번째 차수의 경우에도 확립되어, 이 방법의 일관성을 확인한다.