[論文レビュー] Jacobi operator, q-difference equation and orthogonal polynomials

Lazhar Dhaouadi, Mohamed Jalel Atia|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2012

Mathematical functions and polynomials参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Sturm-Liouville q-差分方程式において $ x = q^{-n} $ を代入することにより、q-差分方程式、ヤコビ作用素、および q-正規直交多項式の間の新しい関係を確立する。この結果、固有関数は q-正規直交多項式または修正 q-Bessel 関数や新たに導入された q-Macdonald 関数といった特殊関数のいずれかであることが明らかになる。主な貢献は、これらの多項式の母関数および離散的直交測度の導出であり、q-Bessel フーリエ解析とモーメント法を用いて、漸近的挙動およびスペクトル論への応用がなされる。

ABSTRACT

In this paper, a link between $q$-difference equations, Jacobi operators and orthogonal polynomials is given. Replacing the variable $x$ by $ q^{-n}$ in a Sturm-Liouville $q$-difference equation we discovered the Jacobi operator. With appropriate initial conditions, the eigenfunctions of such operators are either $q$-orthogonal polynomials or the modified $q$-Bessel function and a newborn the $q$-Macdonald ones. The new Polynomial sequence we found is related to the $q$-Lommel polynomials introduced by Koelink and other. Adapting E. C. Titchmarsh's theory, we showed the existence of a solution square-integrable only in the complex case. As application in the real case we gave the behavior at infinity for $q$-Macdonald's function. Finally, we pointed out that the method described in our paper can be generalized to study the orthogonal polynomial sequence introduced by Al-Salam and Ismail

研究の動機と目的

• 新しい変換を通じて、q-差分方程式、ヤコビ作用素、および q-正規直交多項式の間の深い関係を確立すること。
• 得られたヤコビ作用素の固有関数が q-正規直交多項式または特殊関数（新たな q-Macdonald 関数を含む）として特定されること。
• q-Lommel 多項式に関連する新しい多項式系列の母関数および離散的直交測度を導出すること。
• Titchmarsh のスペクトル論および q-Bessel フーリエ解析を用いて、平方可積分解および q-Macdonald 関数の漸近的挙動を研究すること。
• Al-Salam と Ismail が導入したような他の正規直交多項式系列に対しても、この手法を一般化すること。

提案手法

• Sturm-Liouville q-差分方程式に $ x = q^{-n} $ を代入し、$ n \in \mathbb{Z} $ をインデックスとする列に作用するヤコビ作用素を生成する。
• q-Bessel フーリエ変換および正規化された q-Bessel 関数 $ j_\nu(x;q^2) $ の性質を用いて、スペクトル的性質および固有関数を分析する。
• モーメント論および連分数技法を用いて、多項式系列の直交測度を導出する。
• E. C. Titchmarsh の理論を適応し、複素数の場合にのみ平方可積分解が存在することを証明する。
• $ j_\nu(q^{-n}\lambda; q^2) $ の漸近的解析および関連多項式の比の極限を用いて、q-Macdonald 関数の無限遠における挙動を特定する。
• q-差分方程式におけるポテンシャル項を変更することで、他の正規直交多項式族のフレームワークを一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 q-差分方程式に $ x = q^{-n} $ を代入すると、どのようにしてヤコビ作用素に変換されるか？
• RQ2 得られたヤコビ作用素の固有関数は何か？ そして、それらは q-正規直交多項式および特殊関数とどのように関係しているか？
• RQ3 q-Lommel 多項式から導かれる新しい多項式系列の母関数および直交測度は何か？
• RQ4 q-差分方程式に対して平方可積分解が存在する条件は何か？ そして、これはスペクトルパラメータにどのように依存するか？
• RQ5 この手法は、Al-Salam と Ismail のような他の正規直交多項式系列に対しても拡張可能か？

主な発見

• q-差分方程式に $ x = q^{-n} $ を代入して得られるヤコビ作用素の固有関数は、q-正規直交多項式または修正 q-Bessel 関数のいずれかであり、新たに特定されたクラスが q-Macdonald 関数である。
• q-Macdonald 関数は Rogov が定義した第3種 q-Macdonald 関数とは異なり、q-Bessel フーリエ解析のツールを用いて特徴づけられる。
• 新しい多項式系列の直交測度は離散的であり、$ \{ t_k = q^{-2}(j_k^\nu)^2 \} $ に台を持つ。ここで $ j_k^\nu $ は $ j_\nu(x; q^2) $ の正の単一零点である。
• 各 $ t_k $ における留数（質量）は、$ A_k = \frac{2j_k^\nu}{q^{\nu+3}j_\nu'(j_k^\nu; q^2)} \left[ j_\nu(q^{-1}j_k^\nu; q^2) - \frac{q^{-2\nu}-1}{q^{2\nu}j_{-\nu}(q^{-\nu}j_k^\nu; q^2)} \right] $ で明示的に与えられる。
• 実数の場合、q-Macdonald 関数の無限遠における漸近的挙動は、関連多項式の比 $ \frac{Q_n(-\lambda^2)}{P_n(-\lambda^2)} $ の極限を用いて導出され、$ \frac{j_\nu(\lambda; q^2)}{q^{\nu+1}j_\nu(q\lambda; q^2)} $ を得る。
• q-差分方程式におけるポテンシャル項を変更することで、Al-Salam と Ismail が導入したような他の正規直交多項式族に対しても、この手法を一般化可能である。