[論文レビュー] Jacobi's bound and normal forms computations. A historical survey

François Ollivier|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2009

Polynomial and algebraic computation参考文献 22被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、微分代数における基本的結果であるヤコビの境界について、歴史的・技術的調査を包括的に行っている。ヤコビのオリジナルの手法を再構築し、境界を計算する多項式時間アルゴリズム、等号成立のための切断ヤコビ行列行列式条件、および最短還元法を含む。これらの手法は、アルゴリズム的微分代数やコンピュータ代数システムにおける再発見と現代的意義をたどっている。

ABSTRACT

Jacobi is one of the most famous mathematicians of his century. His name is attached to many results in various fields of mathematics and his complete works in seven volumes have been available since the end of the XIXth century and are very often quoted in many papers. It is then surprising that some of his results may have fallen into oblivion, at least in part. We will try to describe some of Jacobi's results on ordinary differential equations and the available, published or unpublished material he left. We will then expose the selective interests of his followers and their own contributions. There are in fact many interrelated results: a bound on the order of a differential system, a necessary and sufficient condition, given by a determinant, for the bound to be reached, an algorithm to compute the bound in polynomial time, and processes for computing normal forms using as few derivatives as possible. We give for all of them the form under which they could have been proved or rediscovered, sometimes independently of Jacobi's findings. In conclusion, we give the state of the art and suggest some possible applications of Jacobi's bound to improve some algorithms in differential algebra.

研究の動機と目的

• 微分方程式系に関するヤコビのオリジナルの結果、特に常微分方程式系の次数に対する境界を再構築し、明確化すること。
• ヤコビの未発表原稿の歴史的経路と、その後の数学者に与えた影響を文書化すること。
• ヤコビのアルゴリズムおよび切断ヤコビ行列行列式条件の計算的意義を分析し、境界がタイトである場合の判定に寄与すること。
• 正規形計算における導関数の最小化に向けたヤコビの最短還元法の関連性を評価すること。
• 歴史的発展を現代の微分代数およびコンピュータ代数システムにおけるアルゴリズム的改善と結びつけること。

提案手法

• 行列 $ A = (a_{i,j}) $ の最大横断和 $ J = \max_{\sigma \in S_n} \sum_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)} $ を用いてヤコビの境界を再構築する。ここで $ a_{i,j} $ は $ u_i $ の $ x_j $ における次数を表す。
• ヤコビのアルゴリズムを用いて $ \mathcal{O}(n^3) $ 時間で $ J $ を計算する。置換の $ n! $ 種類の列挙を避けるために、$ \lambda \in \mathbb{N}^n $ と呼ばれるキャノンを用いる。
• 各項が $ \partial u_i / \partial x_j^{(\alpha_i + \beta_j)} $ である切断ヤコビ行列 $ \nabla $ を導入する。ここで $ \alpha_i = \Lambda - \ell_i $、$ \beta_j = \max_i a_{i,j} - \alpha_i $ である。
• 切断ヤコビ行列行列式条件を確立する：正則性仮定のもとで、$ |\nabla| \neq 0 $ であることと、系の次数が境界 $ J $ に等しいことは同値である。
• 最短還元法を分析し、$ \ell_i $ 個の $ u_i $ の導関数が正規形を計算するために必要かつ十分であると主張する。
• 独立性または正則性条件の下で、ヤコビの境界の現代的証明（コンドラティエヴァ他, 1982, 2008；ボレヴィチ, 1960）をレビューする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヤコビはどのように常微分方程式系の次数に対する境界を導出し、その導出において最大横断和が果たした役割は何か？
• RQ2 ヤコビの境界を計算するためのアルゴリズムが1世紀以上にわたり無視された理由は何か？その後、クーンとエーグェルヴァーによってどのように再発見されたか？
• RQ3 切断ヤコビ行列式 $ |\nabla| \neq 0 $ が、系の次数が境界 $ J $ に等しいことを示すための条件として、どのような条件下で成立し、その制限は何か？
• RQ4 最短還元法は、正規形を計算するために必要な導関数の数をどの程度最小化できるか？他の還元戦略と比較してどうか？
• RQ5 ヤコビの結果は、微分代数およびコンピュータ代数システムにおけるアルゴリズムの改善に、現代的にどのような意味を持つのか？

主な発見

• ヤコビの境界 $ J $ は、行列 $ A = (a_{i,j}) $ の最大横断和として定義され、$ n $ 個の未知数に関する $ n $ 個の常微分方程式系の次数に対する上界を与える。
• ヤコビのアルゴリズムは、置換の $ n! $ 種類の列挙を避けるためにキャノン $ \lambda $ を用いることで、$ \mathcal{O}(n^3) $ 演算で $ J $ を計算する。
• 切断ヤコビ行列行列式条件 $ |\nabla| \neq 0 $ は、強い境界および正則性仮定のもとで、系の次数が $ J $ に等しいための必要十分条件である。
• 最短還元法により、$ \ell_i $ 個の $ u_i $ の導関数が正規形を計算するために必要かつ十分であり、この数をさらに減らすことはできない。
• 境界および関連アルゴリズムは、クーン（1955年）、ボレヴィチ（1960年）、コンドラティエヴァ他（1982年、2008年）によって独立に再発見された。後者は独立性仮定の下での証明を提供した。
• 現代的応用には、微分代数における複雑性の上限改善およびアルゴリズム設計が含まれ、特に特徴的集合や形式的べき級数解の計算に特に関連している。