[論文レビュー] Kähler Solvmanifolds

Donu Arapura|ArXiv.org|Jun 25, 2003

Geometry and complex manifolds参考文献 10被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、全然同型写像に関してコンpakto Kähler可解多様体を分類し、それらがすべて、自由に作用する有限群による複素トーラスの商であることを証明する。主な結果は、BensonとGordonの予想を確認するもので、完全可解なコンパクトKähler可解多様体は、複素トーラーと同型写像である。この証明には、多可解Kähler群の制限定理と、Albanese写像および標準的ファイブレーションの性質が用いられる。

ABSTRACT

Compact Kähler solvmanifolds are classified up to biholomorphism. A proof of a conjecture Benson and Gordon, that completely solvable compact Kähler solvmanifolds are tori is deduced from this. The main ingredient in the proof is a restriction theorem for polycyclic Kähler groups proved by Nori and the author.

研究の動機と目的

• コンパクトKähler可解多様体を全然同型写像に関して分類すること。
• 完全可解なコンパクトKähler可解多様体が複素トーラーと同型写像であるというBensonとGordonの予想を証明すること。
• 基本群とファイブレーションを通じてKähler可解多様体の構造を特徴づけること。
• すべてのこのような可解多様体が、有限群作用による複素トーラスの商として得られることを示すこと。

提案手法

• NoriとArapura（2003）の多可解Kähler群の制限定理を用いて、Kähler可解多様体の基本群を分析する。
• G/\bar{\nabla} \to G/[G,G] という標準的トーラスファイブレーションを適用する。ここで、ファイバーはコンパクトなニルマンフォールドである。
• Kähler可解多様体に対して、Albanese写像 \alpha: X \to \operatorname{Alb}(X) を適用する。これは、Kähler可解多様体では標準的ファイブレーションと一致する。
• Albanese写像のファイバーがKählerニルマンフォールドであることを示し、[BG1, Theorem A] もしくは [H1] より、これはトーラスである。
• 有限な像と不変複素構造を持つ群の拡大 0 \to \mathbb{Z}^{2m} \to \Gamma \to \mathbb{Z}^{2n} \to 0 を用いて例を構成する。
• \Gamma が接空間上に作用するとき、その作用が複素アフィン変換に引き上げられることを示し、商にKähler構造が得られることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトKähler可解多様体の完全な同型写像による分類は何か？
• RQ2 完全可解なKähler可解多様体は、必ずしも複素トーラーでなければならないか？
• RQ3 すべてのKähler可解多様体は、複素トーラスの有限被覆として実現可能か？
• RQ4 Albanese写像はKähler可解多様体の構造において果たす役割は何か？
• RQ5 コンパクトKähler多様体とバイメルモーフィックでないKähler可解多様体は存在するか？

主な発見

• すべてのコンパクトKähler可解多様体は、複素トーラスの有限被覆と同型写像である。
• Kähler可解多様体の基本群は、有限な像と不変複素構造を持つ拡大 0 \to \mathbb{Z}^{2m} \to \Gamma \to \mathbb{Z}^{2n} \to 0 に含まれる。
• Kähler可解多様体の標準的トーラスファイブレーションは、そのAlbanese写像と等価である。
• Albanese写像のファイバーは連結なKählerニルマンフォールドであり、したがって複素トーラーである。
• BensonとGordonの予想が確認された：完全可解なコンパクトKähler可解多様体は、複素トーラーと同型写像である。
• コンパクトKähler多様体とバイメルモーフィックである唯一の複素可解多様体は、構成1における拡大法で得られるものである。