[論文レビュー] $K(\\pi,1)$ and word problems for infinite type Artin-Tits groups, and applications to virtual braid groups

Eddy Godelle, Luis Paris|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、無限型アーティン＝ティッツ群が、すべての無限を含まないパラボリック部分群に対して可解な語問題を持つならば、それ自身が可解な語問題を持つことを確立し、その普遍被覆のためのCAT(0)キューブ複体モデルを構成する。これらの結果を応用して、バーチャルブレード群 $VB_n$ が可解な語問題を持ち、バーチャルコhomological次元が $n-1$ であることを証明し、ブレード群理論における重要な構造的問題を解決する。

ABSTRACT

Let $\\Gamma$ be a Coxeter graph, let $(W,S)$ be its associated Coxeter system, and let $(A,\\Sigma$) be its associated Artin-Tits system. We regard $W$ as a reflection group acting on a real vector space $V$. Let $I$ be the Tits cone, and let $E_\\Gamma$ be the complement in $I +iV$ of the reflecting hyperplanes. Recall that Charney, Davis, and Salvetti have constructed a simplicial complex $\\Omega(\\Gamma)$ having the same homotopy type as $E_\\Gamma$. We observe that, if $T \\subset S$, then $\\Omega(\\Gamma_T)$ naturally embeds into $\\Omega (\\Gamma)$. We prove that this embedding admits a retraction $\\pi_T: \\Omega(\\Gamma) \ o \\Omega (\\Gamma_T)$, and we deduce several topological and combinatorial results on parabolic subgroups of $A$. From a family $\\SS$ of subsets of $S$ having certain properties, we construct a cube complex $\\Phi$, we show that $\\Phi$ has the same homotopy type as the universal cover of $E_\\Gamma$, and we prove that $\\Phi$ is CAT(0) if and only if $\\SS$ is a flag complex. We say that $X \\subset S$ is free of infinity if $\\Gamma_X$ has no edge labeled by $\\infty$. We show that, if $E_{\\Gamma_X}$ is aspherical and $A_X$ has a solution to the word problem for all $X \\subset S$ free of infinity, then $E_\\Gamma$ is aspherical and $A$ has a solution to the word problem. We apply these results to the virtual braid group $VB_n$. In particular, we give a solution to the word problem in $VB_n$, and we prove that the virtual cohomological dimension of $VB_n$ is $n-1$.

研究の動機と目的

• パラボリック部分群の分析を通じて、無限型アーティン＝ティッツ群が可解な語問題を持つための条件を確立すること。
• ティッツ錐内の反射超平面の補集合の普遍被覆のためのCAT(0)キューブ複体モデルを構成すること。
• バーチャルブレード群 $VB_n$ が可解な語問題とバーチャルコhomological次元 $n-1$ を持つことを証明すること。
• バーチャルブレード群に関連するコクセター図の部分図に対して、$K(\pi,1)$ 予想が成り立つかを検証すること。

提案手法

• ティッツ錐内の反射超平面の補集合 $E_\Gamma$ とホモトピー同値な単体的複体 $\Omega(\Gamma)$ を構成する。
• 各部分集合 $T \subset S$ に対して、再帰的写像 $\pi_T: \Omega(\Gamma) \to \Omega(\Gamma_T)$ を定義し、パラボリック部分群の上での位相的制御を可能にする。
• $S$ の部分集合族 $\mathcal{S}$ からキューブ複体 $\Phi$ を構成し、$\Phi$ が $E_\Gamma$ の普遍被覆と同一ホモトピー型を持つことを示す。
• 族 $\mathcal{S}$ がフラッグ複体であるときかつそのときに限り $\Phi$ がCAT(0)であることを証明し、組合せ論と非正曲率を結びつける。
• すべての $X \subset S$ が無限を含まない場合に $A_X$ が語問題を解けることから、$A$ が語問題を解けることを導出する。
• バーチャルブレード群 $VB_n$ に応用するため、そのアーティン＝ティッツ系をコクセター図 $\Gamma_{VB,n}$ と特定し、パラボリック部分群に関する条件を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コクセター図 $\Gamma$ に対して、関連するアーティン＝ティッツ群 $A$ が可解な語問題を持つために必要な条件は何か？
• RQ2 $E_\Gamma$ の普遍被覆が、CAT(0)キューブ複体とホモトピー同値となるのはいつか？
• RQ3 バーチャルブレード群 $VB_n$ に関連するコクセター図 $\Gamma_{VB,n}$ に対して、$K(\pi,1)$ 予想は成り立つか？
• RQ4 バーチャルブレード群 $VB_n$ のバーチャルコhomological次元は何か？

主な発見

• バーチャルブレード群 $VB_n$ は、そのアーティン＝ティッツ系のすべての無限を含まないパラボリック部分群が語問題を解けることから、可解な語問題を持つことが確立された。
• バーチャルブレード群 $VB_n$ のバーチャルコhomological次元は $n-1$ である。これは、その純粋部分群 $K_n$ に対して次元 $n-1$ の分類空間を構成することで示された。
• 純粋バーチャルブレード群 $K_n$ は次元 $n-1$ の分類空間を持ち、そのコホモロジー次元は正確に $n-1$ である。これにより、$K_n$ がねじれをもたず、FP型であることが確認された。
• コクセター図 $\Gamma_{VB,n}$ は $K(\pi,1)$ 型である。すなわち $E_{\Gamma_{VB,n}}$ は $K(CA_{\Gamma_{VB,n}},1)$ 空間であり、このクラスにおける $K(\pi,1)$ 予想を支持する。
• 無限を含まない部分集合族に対応するキューブ複体 $\Phi$ が、かつそのときに限りCAT(0)である。これは、非正曲率のための組合せ論的基準を提供する。