[論文レビュー] K-theoretic Hall algebras for quivers with potential

Tudor Pădurariu|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2019

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、特異的局所の圏を用いて、ポテンシャル付きクイバーに対するK-理論的ホール代数（KHA）を導入し、その関連付きの層が対称代数の変形である perverse 分割を確立し、PBW型定理を証明する。また、KHAとコhomological Hall代数（CoHA）との間のチエーン写像の同型を構成し、三重化クイバー (eQ, fW) の場合にKHAが量子アフィン代数 Uq(c gQ) の正部分を実現することを証明する。これは、ナカジマの幾何的構成をK理論へ一般化するものである。

ABSTRACT

Given a quiver with potential $(Q,W)$, Kontsevich-Soibelman constructed a Hall algebra on the cohomology of the stack of representations of $(Q,W)$. As shown by Davison-Meinhardt, this algebra comes with a filtration whose associated graded algebra is supercommutative. A special case of this construction is related to work of Nakajima, Varagnolo, Maulik-Okounkov etc. about geometric constructions of Yangians and their representations; indeed, given a quiver $Q$, there exists an associated pair $(\widetilde{Q},\widetilde{W})$ for which the CoHA is conjecturally the positive half of the Yangian $Y_{ ext{MO}}(\mathfrak{g}_Q)$. The goal of this article is to extend these ideas to K-theory. More precisely, we construct a K-theoretic Hall algebra using category of singularities, define a filtration whose associated graded algebra is a deformation of a symmetric algebra, and compare the $ ext{KHA}$ and the $ ext{CoHA}$ using the Chern character. As before, we expect our construction for the special class of quivers $(\widetilde{Q},\widetilde{W})$ to recover the positive part of quantum affine algebra $U_q(\hat{\mathfrak{g}_Q})$ defined by Okounkov-Smirnov, but for general pairs $(Q,W)$ we expect new phenomena.

研究の動機と目的

• ポテンシャル付きクイバーに対するコhomological Hall代数（CoHA）の構成をK理論へ拡張すること。
• 臨界的局所の特異的局所の圏を用いてK-理論的ホール代数（KHA）を定義すること。
• KHAに perverse 分割を定義し、その関連付きの層が対称代数の変形であることを確立すること。
• KHAに対してPBW型定理を証明し、それがBPSリー代数とどのように関連するかを明らかにすること。
• 三重化クイバー (eQ, fW) の場合に、KHAが量子アフィン代数 Uq(c gQ) の正部分を実現することを示し、既知の幾何的構成を一般化すること。

提案手法

• KHAを、表現のスタック上の Tr(W) の臨界的局所の特異的局所の圏のグロチェンディーク群として構成する。
• コarseモジュライ空間写像を用いて、コhomologicalの場合と類似する方法でKHAに perverse 分割を定義する。
• K理論的PBW定理を用いて、KHAの関連付きの層が、次数1部分と H*(BC*) のテンソル積との対称代数に同型であることを証明する。
• 次元削減とチエーン写像を用いてKHAとCoHAを関連させ、チエーン写像がK理論的BPSリー代数からコhomological BPSリー代数への全射を誘導することを示す。
• フレームドクイバースタックを用いた畳み込みにより、KHAをナカジマクイバー多様体のK理論上に表現する。
• この形式的枠組みをジョルダンクイバーおよび三重化クイバー (eQ, fW) に適用し、KHAが Hilb(C^3, d) のK理論上に作用し、Uq(c gQ) の正部分を回復することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コhomological Hall代数の構成を、ポテンシャル付きクイバーに対するK理論へどのように拡張できるか？
• RQ2 特異的局所の圏を用いて定義されたK-理論的ホール代数（KHA）の構造は何か？
• RQ3 KHAは、関連付きの層が対称代数の変形である perverse 分割を備えているか？そのPBW型構造は何か？
• RQ4 チエーン写像はKHAとコhomological Hall代数（CoHA）とをどのように関連付けるか？
• RQ5 三重化クイバー (eQ, fW) のKHAは、CoHAについての予想と同様に、量子アフィン代数 Uq(c gQ) の正部分を回復するか？

主な発見

• ポテンシャル付きクイバー (Q, W) に対するKHAは、Tr(W) の臨界的局所の特異的局所の圏のグロチェンディーク群として定義され、CoHAのK理論的類似を提供する。
• KHAは、関連付きの層が次数1部分と H*(BC*) のテンソル積との対称代数に同型である perverse 分割を備え、PBW型定理を確立する。
• チエーン写像は、K理論的BPSリー代数からコhomological BPSリー代数への全射を誘導し、(eQ, fW) の場合、この写像は同型である。
• 三重化クイバー (eQ, fW) の場合、KHAは、CoHAについての予想と同様に、量子アフィン代数 Uq(c gQ) の正部分と同型である。
• KHAは、フレームドクイバースタックを用いた畳み込みにより、ナカジマクイバー多様体のK理論上に自然に作用する。
• ジョルダンクイバーの場合、KHAは Hilb(C^3, d) のK理論上に作用し、KHAは量子アフィン代数 Uq(c gl1) の正部分と同型である。