[论文解读] K-theory and 0-cycles on schemes

Rahul Gupta, Amalendu Krishna|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 38被引用 5

一句话总结

本文通过证明 Levine-Weibel 0-循环的 Chow 群与 Milnor K-理论层的 Nisnevich 上同调之间的同构，建立了在奇异和模结构化概形上的 Bloch 公式。结果表明，对于代数闭域上仿射概形或在余维数一意义下为正则的射影概形，到 K-理论的循环类映射的核具有有界指数，将经典的 Bloch-Quillen 理论推广至奇异和相对情形。

ABSTRACT

We prove Bloch's formula for 0-cycles on affine schemes over algebraically closed fields. We prove this formula also for projective schemes over algebraically closed fields which are regular in codimension one. Several applications, including Bloch's formula for 0-cycles with modulus, are derived.

研究动机与目标

• 将原本仅对光滑概形成立的 Bloch 公式推广至奇异概形和具有模结构的概形。
• 在奇异和模结构化概形上，建立 Levine-Weibel 0-循环 Chow 群与 Milnor K-理论层的 Nisnevich 上同调之间的 Bloch-Quillen 型同构。
• 分析从 0-循环到代数 K-理论的循环类映射的核，证明其为有界指数的挠子群。
• 解决关于 Kato 将 Bloch 公式推广至奇异概形的猜想是否成立的开放问题。
• 为具有模的 0-循环提供 K-理论解释，将其与相对 K-理论及某些情形下的 étale 基本群联系起来。

提出的方法

• 从 Levine-Weibel 0-循环 Chow 群构造一个到 Milnor K-理论层的 Nisnevich 上同调的典范满射 Bloch-Quillen 映射。
• 利用 Nisnevich 拓扑与层论技巧，定义并分析奇异概形上的 Milnor K-理论层 $\mathcal{K}^M_{d,X}$。
• 应用 Nisnevich 拓扑中的奇点消解与纯量定理，将问题约化至仿射与射影情形。
• 运用欧拉类群与相对 K-理论理论分析循环类映射的核。
• 在完美域上利用基变换与极限论证，将代数闭域上的结果推广至一般完美域。
• 依赖于 K-理论层的 Nisnevich 与 Zariski 上同调之间的已知同构，以及在 0-循环背景下 K-理论与 Milnor K-理论之间的比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 Kato 使用 Milnor K-理论与 Nisnevich 上同调对 Bloch 公式的推广是否可扩展至奇异概形？
• RQ2 Bloch 公式能否推广至光滑概形上的具有模的 0-循环？
• RQ3 在奇异概形上，从 0-循环到代数 K-理论的循环类映射的核具有何种结构？
• RQ4 是否存在对在余维数一意义下奇异的仿射或射影概形的 0-循环的 Bloch-Quillen 同构？
• RQ5 在有限域上的曲面情形下，étale 基本群与具有模的 0-循环 Chow 群之间有何关系？

主要发现

• 对于代数闭域上纯维数为 $d$ 的连通拟射影概形 $X$，存在典范满射 $\rho_X: \mathrm{CH}^{LW}_0(X) \twoheadrightarrow H^d_{\rm nis}(X, \mathcal{K}^M_{d,X})$，当 $X$ 为仿射或射影且在余维数一意义下正则时，该映射为同构。
• 对于完美域上的仿射曲面，映射 $\rho_X: \mathrm{CH}_0(X) \xrightarrow{\cong} H^2_{\rm nis}(X, \mathcal{K}^M_{2,X})$ 是同构。
• 对于代数闭域上维数为 $d$ 的光滑拟射影概形 $X$ 及其除子 $D$，当 $X$ 为仿射或 $X$ 为射影且 $D$ 为整除子时，循环类映射 $\rho_{X|D}: \mathrm{CH}_0(X|D) \xrightarrow{\cong} H^d_{\rm nis}(X, \mathcal{K}^M_{d,(X,D)})$ 为同构。
• 对于完美域上维数为 $d$ 的光滑仿射概形 $S_X$，循环类映射 $\lambda_{S_X}: \mathrm{CH}_0(S_X) \to K_0(S_X)$ 的核的指数为 $(d-1)!$。
• 在相同假设下，相对循环类映射 $\tilde{\lambda}_{X|D}: \mathrm{CH}_0(X|D) \to K_0(S_X, X_+)$ 的核的指数也为 $(d-1)!$。
• 对于完美域上光滑仿射曲面，即使不假设 $D$ 为整除子，同构 $\mathrm{CH}_0(X|D) \xrightarrow{\cong} H^2_{\rm nis}(X, \mathcal{K}^M_{2,(X,D)})$ 仍然成立。