[論文レビュー] K-theory of group Banach algebras and Banach property RD

Benben Liao, Guoliang Yu|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 12被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、双曲群、半単純リー群の格子、多項式成長を示す群など、広範なクラスに属する群 $G$ に対して、$L^p(G)$ 上の畳み込み作用素からなる群バナッハ代数 $B^p_r(G)$ の $K$-理論が、$p \in [1,\infty]$ に対して独立であることを確立する。その条件として、バナッハ版の急速減少性（性質 $(RD)_q$）を満たすことが必要である。主なメカニズムは、$*$-閉部分代数 $B^{p,*}_r(G)$ が、すべての $p$ に対して $K$-理論を保存するように作用し、ホロモーバル関数計算の下で閉じていることである。これにより、$C^*$-代数 $K$-理論への補間と半連続性の結果が得られる。

ABSTRACT

We investigate Banach algebras of convolution operators on the $L^p$ spaces of a locally compact group, and their K-theory. We show that for a discrete group, the corresponding K-theory groups depend continuously on $p$ in an inductive sense. Via a Banach version of property RD, we show that for a large class of groups, the K-theory groups of the Banach algebras are independent of $p$.

研究の動機と目的

• $L^p$ 群バナッハ代数 $B^p_r(G)$ の $K$-理論群が指数 $p$ に依存するかどうかを調査すること。
• Baum-Connes および Bost の予想を $L^p$ の設定に一般化し、$K_*(B^p_r(G))$ が $p$ に依存しない条件を確立すること。
• $L^p$ の設定における $K$-理論不変性を制御するため、$(RD)_q$ と呼ばれるバナッハ代数版の急速減少性を導入し、それを用いること。
• $*$-閉代数 $B^{p,*}_r(G)$ が $K$-理論的情報を保持し、$p$ 間での補間を可能にすることを示すこと。
• $p>2$ に対して $K_*(C^*_r(G))$ が $K_*(B^{p,*}_r(G))$ の帰納的極限として得られることを証明し、$p \to 2$ の極限における半連続性を確立すること。

提案手法

• $B^p_r(G)$ を $L^p(G)$ 上の作用素ノルムに関して $C_c(G)$ の完備化として定義し、$B^{p,*}_r(G)$ をノルム $\|f\|_{B^{p,*}_r(G)} = \max\{\|f\|_{B(L^p)}, \|f^*\|_{B(L^p)}\}$ に関して完備化したものとする。
• 性質 $(RD)_q$ を導入し、これはバナッハ代数版の急速減少性であり、ある $s>0$ に対して $\|f\|_{B(L^p)} \lesssim \|f(1+l)^s\|_{L^q(G)}$ を満たすようにする。ここで $l$ は長さ関数である。
• 微分作用素 $\delta^k$ の定義域の共通部分として定義される滑らかベクトル空間 $S^\infty_q(G)$ を用い、ホロモーバル関数計算を適用することで、$B^{p,*}_r(G)$ と $B^p_r(G)$ が同型な $K$-理論を持つことを示す。
• $2 \leq p < p' \leq \infty$ に対して、$B^{p',*}_r(G) \to B^{p,*}_r(G)$ への自然な準同型 $i_{p',p}$ を構成し、代数間の補間を可能にする。
• Lafforgue の研究から得られる無条件的完備化およびアセンブリーマップを用い、$p>2$ に対して $K_*(B^{p,*}_r(G))$ が安定することを示し、$K_*(C^*_r(G))$ の帰納的極限表現を導出する。
• $|e^{itl(x)} - 1| \leq Ct$ を用いた密度およびノルム推定を用い、一パrameter自己同型 $a_t: T \mapsto e^{itl} T e^{-itl}$ の強い連続性を証明する。この自己同型の生成作用素 $\delta$ は、滑らかベクトルの解析に用いられる微分作用素を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散群 $G$ に対して、$B^p_r(G)$ の $K$-理論は $p \in [1,\infty]$ の範囲で $p$ に依存するか？
• RQ2 すべての $p \geq 2$ に対して、自然な準同型 $B^{p,*}_r(G) \to B^p_r(G)$ は $K$-理論で同型であるか？
• RQ3 $K_*(C^*_r(G))$ は $p>2$ に対して $K_*(B^{p,*}_r(G))$ の帰納的極限として実現可能か？
• RQ4 バナッハ版の性質 $(RD)_q$ は、$p$ に依存しない $K_*$-不変性をもたらすか？
• RQ5 $RD$ を満たすが、ある $q \in (1,2)$ に対して $(RD)_q$ を満たさない群は存在するか？

主な発見

• 任意の性質 $(RD)_q$ を満たす離散群 $G$ に対して、$1/p + 1/q = 1$ のとき、$B^{p,*}_r(G)$ と $B^p_r(G)$ の $K$-理論は自然に同型である。
• $*$-閉代数 $B^{p,*}_r(G)$ はホロモーバル関数計算の下で閉じており、これにより包含写像 $B^{p,*}_r(G) \to B^p_r(G)$ による $K$-理論の保存が保証される。
• $2 \leq p < p' \leq \infty$ に対して、$G$ が $q$ を $p$ の双対とする $(RD)_q$ を満たすとき、準同型 $i_{p',p}: B^{p',*}_r(G) \to B^{p,*}_r(G)$ は $K$-理論で同型を誘導する。
• 有限生成群 $G$ に対して、$K_*(C^*_r(G))$ は $p>2$ における $K_*(B^{p,*}_r(G))$ の帰納的極限として得られ、$K_*(C^*_r(G)) = \bigcup_{p>2} i^*_{p,2}(K_*(B^{p,*}_r(G)))$ が成り立つ。
• Lafforgue のクラス C’ に属し、$q \in [1,2]$ に対して性質 $(RD)_q$ を満たす群 $G$ に対して、$B^p_r(G)$ の $K$-理論は $p \in [1,\infty]$ に対して独立である。これは $p=1$、$p=2$、$p=\infty$ を含む。
• $B^p_r(G)$、$B^q_r(G)$、$B^{p,*}_r(G)$ の各空間において、微分作用素 $\delta$ に関する滑らかベクトル空間 $S^\infty_q(G)$ は、$\delta^k$ の定義域の共通部分として一致する。これにより、$p$-空間全体にわたるホロモーバル関数計算の適用が可能になる。