[論文レビュー] Kac-Moody groups as discrete groups

Bertrand Rémy|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2004

Geometric and Algebraic Topology参考文献 21被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、有限体上のKac-Moody群を、負の曲率をもつ双曲的ビルディングに作用する有限生成離散群として提示し、それらの非線形性を確立するとともに、トポロジカルKac-Moody群を導入して、古典的算術群を超える新しい非線形群であることを示している。主な貢献は、共役群の超剛性およびp進部分群の解析を用いて、これらの群を線形群と区別するための枠組みを提供することにある。

ABSTRACT

This survey paper presents the discrete group viewpoint on Kac-Moody groups. Over finite fields, the latter groups are finitely generated; they act on new buildings enjoying remarkable negative curvature properties. The study of these groups is shared between proving results supporting the analogy with some $S$-arithmetic groups, and exhibiting properties showing that they are new groups.

研究の動機と目的

• Kac-Moody群を、ビルディングに作用する離散群として再定式化し、その幾何学的および力学的性質に焦点を当てる。
• 有限生成Kac-Moody群が任意の体上に線形であるかどうかを調査し、特に古典的S-算術群とは区別することを目的とする。
• そのトポロジカルな完備化およびp進部分群の解析を通じて、特定のKac-Moody群が非線形であることを確立する。
• Kac-Moodyビルディングの自己同型群における格子の算術性を調査し、非アルキメデス的幾何に古典的概念を拡張する。
• CAT(-1)幾何およびFurstenberg型補題を用いて、トポロジカルKac-Moody群が非可換であり、かつ抽象的に単純である条件を同定する。

提案手法

• BN対および二重ルートデータ構造を用いて、有限体上のKac-Moody群を定義し、組合せ的群論を通じてビルディングと結びつける。
• 離散Kac-Moody群の完備化としてトポロジカルKac-Moody群を構成し、非可算かつ完全不連結な群の解析を可能にする。
• 共役群の超剛性を応用して非線形性を示す：群の共役群がそのトポロジカルな完備化において稠密である場合、その群は線形にはなりえない。
• Gromov-双曲的幾何およびCAT(-1)空間技法を用いて、特定の条件下でトポロジカルKac-Moody群の非可換性を証明する。
• トポロジカルKac-Moody群内のp進部分群の解析を通じて非線形性を検出する。Zelmanovの自由p進群に関する結果を活用する。
• CAT(-1)空間におけるFurstenbergの補題を用いて、Weyl群がGromov-双曲的である場合の非可換性を示し、性質(T)に依存しない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたカルタン行列にどのような条件を課すと、有限生成Kac-Moody群が非線形になるか？
• RQ2 アフィン型を超える非線形Kac-Moody群は存在するか？（アフィン型は既に線形であることが知られている。）
• RQ3 Kac-Moody群における負の facet 固定部分群は、その正のビルディングの自己同型群において算術的か？
• RQ4 トポロジカルKac-Moody群に非線形なp進部分群は存在するか？また、これはその線形性にどのような含意を持つか？
• RQ5 トポロジカルKac-Moody群は非可換か？また、性質(T)や双曲性を仮定せずにこれを示せるか？

主な発見

• 一般化されたカルタン行列がアフィン型でない限り、有限体上の有限生成Kac-Moody群は任意の体上に線形にはならない。
• Weyl群がGromov-双曲的である場合、CAT(-1)空間におけるFurstenberg補題を用いて、トポロジカルKac-Moody群が非可換であることが示された。
• Kac-Moody群における負の facet 固定部分群の共役群は、トポロジカルKac-Moody群において稠密であり、ビルディング自己同型群における算術性を示唆する。
• トポロジカルKac-Moody群内に非線形なp進部分群が存在し、これが線形性の主要な障害をなす。
• トポロジカルKac-Moody群は、抽象的に単純な群の直積ではないが、位相的に単純な群の積ではある。
• Kac-Moody群から生じる双曲的ビルディングの自己同型群の完全群は、特定の条件下で抽象的に単純である。これは、木に関するTitsの結果を一般化する。