[論文レビュー] Kalman filtering for linear wave equations with model error

Wonjung Lee, Damon McDougall+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2011

Target Tracking and Data Fusion in Sensor Networks被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、線形波動方程式におけるカルマンフィルタリングにおけるモデル誤差の影響を調査し、極めて小さなモデル誤差ですら、大量のデータにおける不一致な信号回復を引き起こす可能性があることを示している。時間依存の速度誤差は、正確なフィルタリングを可能にするが、スムージングにはできない。また、誤差が存在する状況でも一貫性を回復できるように、緩められたモデルアプローチを提案している。

ABSTRACT

Filtering is a widely used methodology for the incorporation of observed data into time-evolving systems. It provides an online approach to state estimation inverse problems when data is acquired sequentially. The Kalman filter plays a central role in many applications because it is exact for linear systems subject to Gaussian noise, and because it forms the basis for many approximate filters which are used in high dimensional systems. The aim of this paper is to study the effect of model error on the Kalman filter, in the context of linear wave propagation problems. A consistency result is proved when no model error is present, showing recovery of the true signal in the large data limit. This result, however, is not robust: it is also proved that arbitrarily small model error can lead to inconsistent recovery of the signal in the large data limit. If the model error is in the form of a constant shift to the velocity, the filtering and smoothing distributions only recover a partial Fourier expansion, a phenomenon related to aliasing. On the other hand, for a class of wave velocity model errors which are time-dependent, it is possible to recover the filtering distribution exactly, but not the smoothing distribution. Numerical results are presented which corroborate the theory, and also to propose a computational approach which overcomes the inconsistency in the presence of model error, by relaxing the model.

研究の動機と目的

• 線形波動伝播問題におけるカルマンフィルタリングの一貫性に及ぼすモデル誤差の影響を分析すること。
• 大量のデータが存在するにもかかわらず、真の信号を回復できないフィルタリングおよびスムージング分布の条件を特定すること。
• 時間依存のモデル誤差が、一貫性のないスムージングとは対照的に、正確なフィルティングを可能にするかどうかを調査すること。
• モデル誤差が存在する状況でも一貫性を回復できる計算的戦略を構築すること。

提案手法

• 加法的モデル誤差を伴う線形波動方程式に対するカルマンフィルタリングを理論的枠組みで分析する。
• 大規模データにおける信号回復の評価に一貫性解析を適用する。
• 定数速度のずれと時間依存速度誤差がフィルタリングおよびスムージング分布に与える影響を分析する。
• 特に時間依存誤差の場合に、モデル誤差が存在してもフィルタリングが正確に保たれる条件を導出する。
• モデル誤差の影響を相殺するためにシステムダイナミクスを調整する緩められたモデルアプローチを提案する。
• 波動伝播シナリオにおける数値実験を通じて理論的発見を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モデル誤差が線形波動方程式におけるカルマンフィルタリングで不一致な信号回復を引き起こす条件は何か？
• RQ2 定数誤差と時間依存誤差は、フィルタリングおよびスムージング分布にどのように影響を与えるか？
• RQ3 モデル誤差が存在する状況でも正確なフィルタリングが達成可能か？その条件は何か？
• RQ4 モデル誤差が存在する場合に、フィルタリングの一貫性を回復することは可能か？計算的にどのように達成できるか？
• RQ5 エイリアシングは、モデル誤差下での信号回復失敗にどのような役割を果たすか？

主な発見

• 任意に小さなモデル誤差ですら、真のシステムが線形かつガウス的であっても、大量のデータにおける不一致な信号回復を引き起こす可能性がある。
• 定数速度のモデル誤差は、フィルタリングおよびスムージング分布が部分的なフーリエ展開しか回復しないことをもたらし、これはエイリアシングと関連している。
• 時間依存のモデル誤差の場合、フィルタリング分布は正確に回復可能であるが、スムージング分布は回復できない。
• 提案された緩められたモデルアプローチは、モデル誤差が存在する状況でもフィルタリングの一貫性を効果的に回復した。数値結果で確認された。
• 数値実験により理論的発見が検証され、緩和戦略が不一致の緩和に有効であることが示された。