[論文レビュー] Kantorovich duality for general transport costs and applications

Nathaël Gozlan, Cyril Roberto+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 46被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、古典的および弱い輸送コストを統一する一般化された輸送コストフレームワークを導入し、この広範なクラスに対してKantorovich双対定理を証明する。主な貢献は、輸送エントロピー不等式および制限付きログソボレフ不等式の新たな特徴付けを可能にする統一された双対原理の確立であり、特に凸／凹関数に制限されたものである。応用として、マルティングル・カップリングおよび測度の集中現象に関する応用が得られる。

ABSTRACT

We introduce a general notion of transport cost that encompasses many costs used in the literature (including the classical one and weak transport costs introduced by Talagrand and Marton in the 90's), and prove a Kantorovich type duality theorem. As a by-product we obtain various applications in different directions: we give a short proof of a result by Strassen on the existence of a martingale with given marginals, we characterize the associated transport-entropy inequalities together with the log-Sobolev inequality restricted to convex/concave functions. Some explicit examples of discrete measures satisfying weak transport-entropy inequalities are also given.

研究の動機と目的

• 確率論および解析学で用いられる古典的および弱い輸送コストを包含する一般化された輸送コストの概念を構築すること。
• この一般化された輸送コストフレームワークに対して、Kantorovich型の双対定理を確立すること。
• 双対定理を用いて、輸送エントロピー不等式および制限付きログソボレフ不等式を特徴付けること。
• 与えられた周辺分布を持つマルティングルカップリングの存在に関するStrassenの定理の新たな短い証明を提供すること。
• 弱い輸送エントロピー不等式を満たす離散測度の明示的例を提示すること。

提案手法

• 積空間上の条件付きカーネルおよびコスト関数を用いて定義される一般化された輸送コスト関数を導入すること。
• ε-最適カップリングによる近似とJensenの不等式を用いて、一般化された輸送コストに対する双対定理を証明すること。
• 双対定理を応用し、相対エントロピーとウォッサーシュタイン距離を用いた輸送エントロピー不等式の特徴付けを導出すること。
• 一般化されたコストのテンソル化性質を活用して、単一空間から積空間への結果の拡張を行うこと。
• 双対性を活用して、一般化された輸送コストと、凸／凹関数に制限されたエントロピーおよびログソボレフ不等式との関係を明らかにすること。
• フレームワークを用いて、弱い輸送エントロピー不等式を満たす離散測度の明示的例を構成すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的および弱い輸送コストを含む広範なクラスの輸送コストに対して、統一された双対枠組みを構築できるか？
• RQ2 一般化されたKantorovich双対性は、既知の関数不等式（輸送エントロピーおよびログソボレフ不等式）とどのように関係するか？
• RQ3 双対性を用いて、例えばマルティングルカップリングに関するStrassenの定理のような古典的結果を再導出または簡略化できるか？
• RQ4 双対性は、積空間における次元に依存しない測度の集中現象にどのような意味を持つのか？
• RQ5 どの離散測度が弱い輸送エントロピー不等式を満たし、それらはどのように明示的に構成できるか？

主な発見

• 古典的および弱い輸送コストを含む広範なクラスの輸送コストに対して、一般化されたKantorovich双対定理が確立された。
• 双対性により、輸送エントロピー不等式の新たな特徴付けが得られ、一般化された輸送コストと相対エントロピーとの同値性が示された。
• フレームワークにより、与えられた周辺分布を持つマルティングルの存在に関するStrassenの定理の短い証明が得られた。
• 本稿では、凸および凹関数に制限されたログソボレフ不等式が、一般化された輸送コストを用いて特徴付けられた。
• 弱い輸送エントロピー不等式を満たす離散測度の明示的例が構成され、フレームワークの適用可能性が示された。
• 一般化されたコストのテンソル化性質により、輸送エントロピー不等式が積測度のもとでも保存され、次元に依存しない集中結果が得られた。