[論文レビュー] Kazhdan-Laumon representations of finite Chevalley groups, character sheaves and some generalization of the Lefschetz-Verdeier trace formula

Alexander Braverman, Alexander Polishchuk|ArXiv.org|Oct 1, 1998

Advanced Algebra and Geometry参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有限Chevalley群の一般Kazhdan-Laumon表現が、キャラクター層と一般化されたLefschetz-Verdierトレース公式に依拠する幾何的構成によって、Deligne-Lusztig表現と同型であることを確立している。また、これらの表現のキャラクターが、対応するLusztigのキャラクター層の茎におけるFrobeniusのトレースに一致することを証明している。

ABSTRACT

In this paper we investigate the representations of reductive groups over a finite field, introduced in 1987 by D.Kazhdan and G.Laumon. We show that generically these representations are irreducible and that their character is equal to the function obtained by traces of Frobenius morphism on the stalks of the corresponding Lusztig's character sheaf. This, together with the corresponding result by G.Lusztig, implies that generic Kazhdan-Laumon representations are isomorphic to the corresponding Deligne-Lusztig representations. In the second half of the paper we give a direct geometric construction of this isomorphism, assuming that certain generalization of the Lefschetz-Verdier trace formula holds.

研究の動機と目的

• 有限Chevalley群のKazhdan-Laumon表現の構造とキャラクターを調査すること。
• Kazhdan-Laumon表現とDeligne-Lusztig表現との間に幾何的関係を確立すること。
• 一般Kazhdan-Laumon表現のキャラクターが、対応するキャラクター層の茎におけるFrobeniusのトレースに一致することを証明すること。
• Kazhdan-Laumon表現とDeligne-Lusztig表現との間の同型写像を直接的な幾何的構成によって与えること。
• この同型写像が、一般化されたLefschetz-Verdierトレース公式の妥当性を仮定することで導かれるということを示すこと。

提案手法

• 表現の幾何的構造を分析するために、Lusztigのキャラクター層理論を用いる。
• キャラクター層の茎におけるFrobeniusのトレースを用いて、キャラクター関数を計算する。
• 幾何的構成の基礎として、Lefschetz-Verdierトレース公式の一般化されたバージョンを仮定する。
• Kazhdan-Laumon表現の一般的非可約性に依拠して、Deligne-Lusztig表現との同型を確立する。
• 層コホモロジーとFrobenius作用を含む代数幾何学的手法を用いて、表現のキャラクターと幾何的不変量との関係を結ぶ。
• 複雑な数式表現の整合性を保つために、AMS-LaTeXを三回コンパイルする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限Chevalley群のKazhdan-Laumon表現は、一般の場合に非可約か？
• RQ2 Kazhdan-Laumon表現のキャラクターは、キャラクター層の茎におけるFrobeniusのトレースとどのように関係するか？
• RQ3 Kazhdan-Laumon表現とDeligne-Lusztig表現との間に幾何的同型写像を構成できるか？
• RQ4 一般化されたLefschetz-Verdierトレース公式は、この同型の確立においてどのような役割を果たすか？
• RQ5 Kazhdan-Laumon表現のキャラクターが、Deligne-Lusztig表現のキャラクターと一致する条件は何か？

主な発見

• 有限Chevalley群の一般Kazhdan-Laumon表現は非可約である。
• 一般Kazhdan-Laumon表現のキャラクターは、対応するLusztigのキャラクター層の茎におけるFrobeniusのトレース関数に一致する。
• このキャラクターの一致は、一般Kazhdan-Laumon表現が対応するDeligne-Lusztig表現と同型であることを示唆する。
• ある種のLefschetz-Verdierトレース公式の一般化が成り立つものと仮定することで、この同型写像の直接的な幾何的構成が与えられる。
• 同型写像は、層論的手法と代数群上のFrobenius作用の相互作用を通じて実現される。
• 結果として、表現論的構成と代数幾何学における幾何的メソッドが統合され、特にキャラクター層とトレース公式を通じて。